Материалы консультации к ЕГЭ по математике (стр. 6 )

Ответ: 342.

53. За­да­ние 11. Петя и Ваня вы­пол­ня­ют оди­на­ко­вый тест. Петя от­ве­ча­ет за час на 8 во­про­сов теста, а Ваня – на 9. Они од­но­вре­мен­но на­ча­ли от­ве­чать на во­про­сы теста, и Петя за­кон­чил свой тест позже Вани на 20 минут. Сколь­ко во­про­сов со­дер­жит тест?

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим N — число во­про­сов теста. Тогда время, не­об­хо­ди­мое Пете, равно часа, а время, не­об­хо­ди­мое Ване, равно часа. Петя за­кон­чил от­ве­чать на тест через часа после Вани. По­это­му:

Ответ: 24.

54. За­да­ние 11. Один ма­стер может вы­пол­нить заказ за 6 часов, а дру­гой — за 3 часа. За сколь­ко часов вы­пол­нят заказ оба ма­сте­ра, ра­бо­тая вме­сте?

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим вы­пол­ня­е­мую ра­бо­ту за 1. Ско­рость ра­бо­ты пер­во­го ма­сте­ра 1/6 ра­бо­ты в час, а вто­ро­го — 1/3 ра­бо­ты в час. Время ра­бо­ты равно от­но­ше­нию объёма ра­бо­ты к ско­ро­сти её вы­пол­не­ния. По­это­му два ма­сте­ра, ра­бо­тая вме­сте, вы­пол­нят заказ за

часа.

Ответ: 2.

55. За­да­ние 11. Пер­вые 120 км ав­то­мо­биль ехал со ско­ро­стью 90 км/ч, сле­ду­ю­щие 100 км — со ско­ро­стью 100 км/ч, а затем 110 км — со ско­ро­стью 110 км/ч. Най­ди­те сред­нюю ско­рость ав­то­мо­би­ля на про­тя­же­нии всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Ре­ше­ние.

Чтобы найти сред­нюю ско­рость на про­тя­же­нии пути, нужно весь путь раз­де­лить на все время дви­же­ния. Прой­ден­ный путь равен 120 + 100 + 110 = 330 км. Сред­няя ско­рость ав­то­мо­би­ля равна

км/ч.

Ответ: 99.

56. За­да­ние 12.Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции .

Ре­ше­ние.

Квад­рат­ный трех­член с от­ри­ца­тель­ным стар­шим ко­эф­фи­ци­ен­том до­сти­га­ет мак­си­му­ма в точке , в нашем слу­чае — в точке −7. По­сколь­ку функ­ция воз­рас­та­ет, и функ­ция опре­де­ле­на в точке −7, она также до­сти­га­ет в ней мак­си­му­ма.

Ответ: −7.

57. За­да­ние 12. Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции

Ре­ше­ние.

Функ­ция опре­де­ле­на и диф­фе­рен­ци­ру­е­ма на Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ис­ко­мая точка ми­ни­му­ма

Ответ: −7,75.

58. За­да­ние 12. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции: Урав­не­ние не имеет ре­ше­ний, про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на при всех зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ной, по­это­му за­дан­ная функ­ция яв­ля­ет­ся воз­рас­та­ю­щей.

Сле­до­ва­тель­но, наи­мень­шим зна­че­ни­ем функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке яв­ля­ет­ся

Ответ: −16,5.

59. За­да­ние 12. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке.

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­ден­ная про­из­вод­ная не­по­ло­жи­тель­на на за­дан­ном от­рез­ке, за­дан­ная функ­ция убы­ва­ет на нем, по­это­му наи­боль­шим зна­че­ни­ем функ­ции на от­рез­ке яв­ля­ет­ся

Ответ: −5.

60. За­да­ние 12. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции: Урав­не­ние не имеет ре­ше­ний, про­из­вод­ная от­ри­ца­тель­на при всех зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ной, по­это­му за­дан­ная функ­ция яв­ля­ет­ся убы­ва­ю­щей. Сле­до­ва­тель­но, наи­мень­шим зна­че­ни­ем функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке яв­ля­ет­ся

Ответ: 9.

61. За­да­ние 12. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции .

Ре­ше­ние. Вы­де­лим пол­ный квад­рат:

От­сю­да имеем:

По­это­му наи­мень­шее значе­ние функ­ции до­сти­га­ет­ся в точке −11, и оно равно 1.

Ответ: 1.

62. За­да­ние 12. Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ис­ко­мая точка мак­си­му­ма

Ответ: -15.

63. За­да­ние 12. Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

.

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ис­ко­мая точка мак­си­му­ма .

Ответ: -17.

64. За­да­ние 12. Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции .

Ре­ше­ние.

Квад­рат­ный трех­член с по­ло­жи­тель­ным стар­шим ко­эф­фи­ци­ен­том до­сти­га­ет ми­ни­му­ма в точке , в нашем слу­чае — в точке 3. По­сколь­ку функ­ция воз­рас­та­ет, и за­дан­ная функ­ция опре­де­ле­на в точке 3, она также до­сти­га­ет в ней ми­ни­му­ма.

Ответ: 3.

65. За­да­ние 12. Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции

Ре­ше­ние.

Квад­рат­ный трех­член с от­ри­ца­тель­ным стар­шим ко­эф­фи­ци­ен­том до­сти­га­ет мак­си­му­ма в точке , в нашем слу­чае — в точке 6. По­сколь­ку функ­ция воз­рас­та­ю­щая, а за­дан­ная функ­ция опре­де­ле­на при най­ден­ном зна­че­нии пе­ре­мен­ной, она до­сти­га­ет мак­си­му­ма в той же точке, в ко­то­рой до­сти­га­ет мак­си­му­ма под­ко­рен­ное вы­ра­же­ние.

Ответ: 6.

Использованы материалы базового и профильного уровней каталога образовательного портала для подготовки к экзамену «РЕШУ ЕГЭ»: математика.