Бизнес-прогнозирование с помощью моделей временных рядов (стр. 10 )

Все ранее рассмотренное относится к полиномам конечной степени. Полином бесконечного порядка можно записать так

  (40)

Таким образом, например, для представления распределенного лага текущих и прошлых возмущений бесконечного порядка, можно записать

  (41)

Модели, содержащие бесконечное количество распределенных лагов, занимают центральное место в моделировании и прогнозировании временных рядов. Это находит выражение в так называемой теореме Уолда.

Многие модели временных рядов не противоречат условиям стационарности. Так что, если мы знаем, что ряд стационарен, это ещё не дает четкого ответа на вопрос, какой вид модели мы можем применить для описания динамики ряда. Тренд и сезонные модели, которые мы уже изучили, здесь неприменимы, так они описывают специфические нестационарные компоненты. Исследователю необходима подходящая модель для имитации стационарных остатков динамического ряда. Теорема о представлении Уолда указывает на соответствующий вид модели.

Теорема. Пусть {yt} будет любым стационарным процессом с нулевым средним, не содержащим никаких детерминированных компонент. Тогда этот процесс можно записать как

, где , при и   (42)

Иначе говоря, моделью для любого стационарного ряда является бесконечно распределенный лаг белого шума, называемый представлением Уолда. Такое представление ряда называется - общим линейным процессом. Общим, потому что любой стационарный ряд может быть записан в такой форме, а линейный, потому что представление Уолда изображает ряд в виде линейной комбинации его инноваций (т. е. его предшествующих значений).

Ввиду особой важности для прогнозирования общего линейного процесса рассмотрим его условные и безусловные моменты. Зная средние и дисперсии по ряду, мы легко можем получить его безусловные моменты, т. е. математическое ожидание ряда

  (43)

и дисперсию ряда

  (44)

Условное математическое ожидание ряда определяется как

М(yt | Ωt-1) = М(εt | Ωt-1) +b1М(εt-1 | Ωt-1) + b2М(εt-2 | Ωt-1) +….=

= 0 + b1εt-1 + b2εt-2 +…=   (45)

и условная дисперсия ряда        

D(yt | Ωt-1) = М[ (yt – М(yt | Ωt-1))2 | Ωt-1]

= М(εt 2| Ωt-1) = М(εt 2) = σ2  (46)

Существенным является то, что условное среднее смещается во времени в ответ на изменение информационного пространства. Модель фиксирует изменения процесса, и изменяющееся среднее – это один из способов интегрировать эти изменения. Важная цель при моделировании временных рядов, особенно для прогнозистов, - это уловить динамику условного среднего (т. к. безусловное среднее постоянно, это один из признаков стационарности ряда), а условное среднее изменяется в ответ на эволюцию исходного информационного пространства.

9 Оценка и вывод среднего, автокорреляционной и частной автокорреляционной функций

Предположим, что у нас есть выборка данных временного ряда, и мы не знаем вида модели, которая генерирует эти данные, т. е. среднее, АКФ, или ЧАКФ, связанные с истинной моделью. Вместо этого, мы хотим использовать данные, чтобы оценить среднее, АКФ и ЧАКФ, которые мы можем потом использовать, чтобы помочь нам изучить лежащую в основе динамику, а потом решить, какая модель или набор моделей нам подходят.

Оценка выборочного среднего

Среднее стационарного ряда определяется как . Основной принцип оценивания, который называется принципом аналогии, предполагает, что мы улучшаем формулу оценки (оценочную функцию) путем замещения математического ожидания выборочными средними. Так что наша оценка среднего совокупности, представленной как выборка размерностью Т, называется выборочным средним

  (47)

Обычно нас прямо не интересует оценка среднего, но она нужна для оценки автокорреляционной функции.

Оценка выборочной автокорреляции

Значение автокорреляции при сдвиге уровней ряда на величину τ для стационарных рядов уt равно

  (48)

Применяя принцип аналогии, получим в результате оценочную формулу

  (49)

Эта формула, которая выглядит как функция от τ, называется выборочной автокорреляционной функцией, а ее графическое представление коррелограммой. Заметим, что некоторые суммы начинаются с t= τ + 1, а не с t= 1; это необходимо из-за наличия в формуле yt-τ. Обратим внимание на то, что производится деление одних и тех же суммы на Т, хотя в сумме только (Т - τ) членов, т. е. происходит некоторое искажение числа степеней свободы. Деление на Т или на (Т - τ) дает почти одинаковый результат в виду более чем существенной разницей между Т и τ, поэтому для практических целей это не имеет большого значения; кроме того, есть хорошие математические причины для предпочтения деления на Т.

Часто требуется оценить, является ли исследуемый ряд возможной аппроксимацией к белому шуму, тогда можно сказать, равны ли нулю автокорреляции в совокупности. Лучшим результатом будет ряд белого шума. Тогда распределение выборочных автокорреляций в больших выборках будет

  (50)

Выборочные автокорреляции ряда, содержащего белый шум, распределены приблизительно нормально, а нормальное распределение всегда “удобное” распределение. Среднее значение равно 0, и это говорит о том, что выборочные автокорреляции являются несмещенными оценками автокорреляции генеральной совокупности, которая на самом деле равна 0. Дисперсия выборочных автокорреляций приблизительно равна  (стандартное отклонение ≈ ). Выясним, является ли ряд белым шумом, то есть, равны ли все автокорреляции 0 одновременно. Простое расширение позволяет нам проверить эту гипотезу.

ЛИТЕРАТУРА

1. , Молчанов методы прогнозирования. Учебное пособие /Рост. гос. экон. унив. - Ростов-н/Д. - 2001. - 74 с.

2. , Юзбашев временных рядов и прогнозирование. - Москва: "Финансы и статистика", 2001. -228 с.

3. , Каримов обработки многомерных данных и временных рядов Учебное пособие для вузов. - М.: Горячая линия-Телеком, 2007. --522 с.

4. Дуброва методы прогнозирования в экономике. - М.: МЭСИ, 2001. - 50 с.

5. Керимов и прогнозирование временных рядов. Учеб. пособие. - М.: Изд-во РУДН, 2005. - 138 с.

6. Лукашин методы краткосрочного прогнозирования временных рядов. Учеб. пособие. - М.: Финансы и статистика, 2003 г. - 416 с.

7. Орлов методы прогнозирования. - В кн.: Малая российская энциклопедия прогностики. - М.: Институт экономических стратегий, 2007. - С.148-153.

8. , Рунов временных рядов и прогнозирование. Учебно-методические материалы по дисциплине “Методы социально-экономического прогнозирования” для студентов специальности “Математические методы в экономике”. - Ростов-на-Дону, РГУ, 2006. –109с.

9. Татаренко и модели анализа временных рядов: методические  указания к лабораторным работам. - Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2008. – 32 с.

10. http://www. /file/134776/