Бизнес-прогнозирование с помощью моделей временных рядов (стр. 8 )

Но хотя многие ряды не стационарны, часто бывает возможно работать с моделями, которые дают специальную интерпретацию нестационарным компонентам вроде тенденции и сезонности, так, чтобы циклический компонент, вероятно, оставался стационарным. Мы часто принимаем эту стратегию. Для этого с помощью простых преобразований можно привести нестационарные ряды к стационарному виду. Например, многие ряды, которые являются определенно нестационарными в абсолютных единицах (уровнях), выглядят стационарными в относительных (темпах роста). Для этого используются специальные процедуры, именуемые интегрированием динамических рядов.

Кроме того, хотя стационарность требует, чтобы средние и ковариации были устойчивыми и конечными, она не накладывает никаких ограничений на другие характеристики распределения ряда, например, асимметрию и эксцесс. По этой причине, такую стационарность часто называют стационарностью второго порядка, или слабой стационарностью. Таким образом, работаем ли мы непосредственно в уровнях и включаем специальные компоненты для нестационарных элементов наших моделей, или мы работаем на преобразованных данных типа темпов роста, предположение о стационарности не столь нереалистично, как это может показаться.

Вспомним, что корреляция между двумя случайными переменными x и у (коэффициент парной корреляции) определяется как

  (25)

То есть корреляция переменных x и y – это просто их ковариация, "нормализованная", или "стандартизированная", произведением стандартных отклонений x и y. И корреляция, и ковариация - меры измерения тесноты линейной связи между двумя случайными переменными. Тем не менее, корреляция часто бывает более информативна и легко интерпретируется, потому что конструкция коэффициента корреляции гарантирует, что corr(x, y) ∈[-1,1], в то время как ковариация между теми же самыми двумя случайными переменными может принимать любое значение. Корреляция, кроме того, не зависит от единиц, в которых переменные x и у измерены, тогда как ковариация зависит. Вследствие лучшей интерпретируемости корреляции по сравнению с ковариацией, исследователи часто работают с корреляцией охотнее, чем с ковариацией, между и . То есть работа с функцией автокорреляции, , предпочтительней, чем с функцией автоковариации, . Функцию автокорреляции можно получить, разделив автоковариационную функцию на дисперсию

  (26)

Формула для автокорреляции - это обычная формула корреляции, только для измерения тесноты взаимосвязи между членами одного и того же временного ряда, т. е. между и . Это объясняется тем, что дисперсия равна , и вследствие стационарности, дисперсия в любое другое время - также . Таким образом,

  (27)

Следует иметь в виду, что , потому что любой ряд совершенно коррелируется сам с собой. Таким образом, только значения автокорреляции при ненулевых сдвигах информируют нас относительно динамической структуры рядов.

Наконец, иногда полезной является частная автокорреляционная функция, , так как - только коэффициент при в совокупности линейной регрессии на .,…, . Такие регрессии именуют авто - регрессиями, потому что переменная регрессирована на своих же лаговых значениях. Легко видеть, что автокорреляция и частная автокорреляция, хотя и связаны, но отличаются важным образом. Автокорреляции - только "простые" или "регулярные" корреляции между и . Частные автокорреляции, с другой стороны, измеряют тесноту взаимосвязи между и при устранении влияния промежуточных членов ,…, этого ряда; то есть они измеряют “очищенную” корреляцию между и .

Можно показать, что любой стационарный ряд должен иметь автокорреляционную и частную автокорреляционную функции, которые каким либо образом приближаются к 0 при увеличивающемся смещении.

6 Понятие белого шума в моделях динамики временных рядов

Перед тем, как оценить параметры прогностической модели временного ряда, необходимо изучить ее совокупные свойства, предполагая, что выбранная модель значима. Простейшим из такого рода процессов временного ряда является основным стандартным блоком, из которого можно получить все остальные процессы. Записать его можно следующим образом = εt, где εt ~ (0, σ2) и εt некоррелирован во времени. В данной ситуации говорят, что εt, и следовательно, , последовательно (серийно) некоррелированы (т. е. отсутствует корреляция внутри ряда). Во всех ситуациях, если не установлено другое, мы  будем полагать, что σ2 < ∞. Такой процесс, с нулевым математическим ожиданием, постоянной конечной дисперсией и отсутствием корреляции внутри ряда, называется белым шумом с нулевым средним, или просто белым шумом (white noise). Иногда для краткости пишут εt ~ WN (0, σ2) и следовательно ~ WN (0, σ2).