Следует обратить внимание, что εt и аналогично , последовательно некоррелированны, но они необязательно последовательно независимы, потому что они необязательно распределены нормально. Если в добавлении к последовательной некоррелированности   является и серийно независимым, тогда мы можем сказать, что – это независимый белый шум. Таким образом, записывается

  (28)

и говорится, что “значения независимо и одинаково распределены с нулевым математическим ожиданием постоянной дисперсией”. Если в ряду отсутствует корреляция и ряд распределен нормально, то из этого следует, что ряд уt  также независимо распределен. Тогда мы говорим, что уt – это нормальный белый шум, или белый шум Гаусса: . Мы читаем “ уt – это независимо, одинаково нормально распределенный ряд с нулевым средним и постоянной дисперсией” или просто “Гауссовский белый шум”.

Возмущения в регрессионной модели рассматриваются как белый шум в том или ином роде. Тем не менее, имеется одно важное различие. Возмущения в регрессионной модели не поддаются наблюдению, тогда как временные ряды наблюдаемы. Позже, тем не менее, мы увидим, как все наши модели для наблюдаемых рядов могут быть применены для не поддающихся наблюдению переменных, таких как регрессионные возмущения.

Охарактеризуем динамическую стохастическую структуру белого шума  уt ~ WN (0, σ2). По построению, безусловное математическое ожидание уt будет  M(уt) = 0, а безусловная дисперсия D (уt) = σ2.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Чтобы полностью понять линейную динамическую структуру стационарного процесса временного ряда, нам требуется рассчитать и проверить его среднее значение и автоковариационную функцию. Так как белый шум, по определению, не коррелирован во времени, все автоковариации и, следовательно, все автокорреляции, равны нулю, за исключением значения, зависящего от нулевого сдвига. Формально автоковариационная функция для процесса белого шума записывается так

  (29)

Автокорреляционная функция для этого процесса запишется следующим образом

  (30)

Рассмотрим частную автокорреляционную функцию (ЧАКФ) для рядов содержащих белый шум. Так как АКФ при сдвиге равном 0 всегда равна 1, ЧАКФ при нулевом смещении принимает то же значение. Для белого шума, все значения ЧАКФ при больших, чем нуль, сдвигах равны нулю. Это следует опять-таки из того, что белый шум, по построению, серийно не коррелирован. Совокупные регрессии yt на yt-1, или на yt-1 и yt-2, или на другие лаги, приводит к нулевым коэффициентам, потому что процесс серийно не коррелирован. Формально, ЧАКФ процесса белого шума записывается так

  (31)

Это снова вырожденная функция и выглядит так же как АКФ.

Из определения процесса типа «белый шум» ясно, что попытки спрогнозировать независимый белый шум, обречены на провал. Так как мы не можем сказать, что происходит с рядом, содержащим белый шум в любое время, не связанное с прошлым, и аналогично, что происходит в будущем, не связанным с настоящим или прошлым. Но понимание белого шума чрезвычайно важно как минимум по двум причинам. Во-первых, процессы с более ощутимой динамикой получаются простой трансформацией белого шума. Во-вторых, ошибки прогноза на один период вперед должны быть белым шумом. Так как, если эти ошибки не являются белым шумом, то они коррелированны, что означает, что прогностическая модель построена некорректно, а если это имеет место, то прогноз не может быть хорошим. Поэтому важно понимание и распознавание этого явления.

Таким образом, мы охарактеризовали белый шум через его среднее значение, дисперсию, АКФ и ЧАКФ. Другая характеристика динамики с важными выводами для прогнозирования, включает среднее и дисперсию процесса, обусловленные прошлой истории этого процесса. В частности, мы часто можем понять сущность динамики процесса, анализируя его условное математическое ожидание, которое является ключевым объектом для прогнозирования. Для сравнения безусловных и условных математических ожиданий и дисперсий, чтобы облегчить нашу попытку, рассмотрим пример независимого белого шума, с теми же аргументами: безусловным средним 0 и безусловной дисперсией σ2. Рассмотрим теперь условные среднее и дисперсию, где исходными ретроспективными данными является информационное множество Ωt-1, которое по существу содержит или прошлую историю наблюдаемого ряда, т. е. Ωt-1 = {…yt-1, yt-2,…}, или прошлую историю возмущений ряда, т. е. Ωt-1 = { εt-1, εt-2,… }. В сравнении с безусловными средним и дисперсией, которые должны быть постоянными, согласно требованиям стационарности, условные среднее и дисперсия необязательно постоянные, и в общем случае мы должны считать их непостоянными. Для независимого белого шума условное среднее имеет вид

М(yt | Ωt-1) = 0,  (32)

а условная дисперсия выглядит как

D(yt | Ωt-1) = М[(yt – М(yt | Ωt-1))2 | Ωt-1] = σ2.  (33)

Условные и безусловные дисперсии и средние идентичны для рядов, содержащих белый шум. Рассматриваемый процесс не содержит динамики и, следовательно, нет динамики в условных моментах, которую можно моделировать.

7 Модель случайного блуждания

Важным примером стационарного временного ряда является процесс

  (34)

называемый случайным блужданием (random walk). Учитывая, что ошибка εt некоррелирована с yt-1, можно получить:

М(yt ) = М(yt-1) +0;  D(yt ) = D(yt-1) + σ2.  (35)

Отсюда ясно, что случайное блуждание нестационарно, так как

  (36)

Если положить, что процесс начинается с момента t=1 и М(y1) =μ,  D(y1) = σ2, то М(yt) =μ,  D(yt) = σ2t, при t=1,2,…, т. е. дисперсия неограниченно возрастает во времени.

8 Понятие оператора лагового сдвига

Оператор сдвига и связанные с ним структурные компоненты – это язык, на котором описываются прогностические модели. Оператор сдвига, обозначим его символом L, оперирует рядом, вводя в него запаздывания (лаги), так что

.  (37)

Аналогично,

  (38)

и так далее. Однако в общем случае будем говорить, что речь идет об использовании полиномов от оператора сдвига. Полином от оператора сдвига степени m - это линейная функция различных степеней L до m-й степени

.  (39)

Пример полинома от оператора сдвига m-й степени, оперирующего с рядами, например, . Хорошо известный оператор разности первого порядка Δ - это в действительности полином первой степени от оператора сдвига: .

Например, если необходимо рассмотреть полином второй степени от оператора сдвига вида (1 + 0.78L + 0.65L2), оперирующего с рядом yt. Эквивалентно это условие можно записать как равенство

,

которое представляет собой взвешенную сумму, или распределенный лаг, настоящих и прошлых значений ряда yt.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10