Бизнес-прогнозирование с помощью моделей временных рядов (стр. 5 )

  б – параметр сглаживания, б = const, 0< б <l;

  в=1 - б.

Если последовательно использовать соотношение (10), то экспоненциальную среднюю можно выразить через предшествующие значения уровней временного ряда. При

  (11) 

Таким образом, величина оказывается взвешенной суммой всех членов ряда. Причем веса отдельных уровней ряда убывают по мере их удаления в прошлое соответственно экспоненциальной функции (в зависимости от "возраста" наблюдений). Именно поэтому величина названа экспоненциальной средней.

Предположим, что модель временного ряда имеет вид:

.

Английский математик Р. Браун показал, что математические ожидания ряда и экспоненциальной средней совпадут, но в то же время дисперсия экспоненциальной средней D[]  меньше дисперсии временного ряда ()

.  (12)

Из (12) видно, что при высоком значении дисперсия экспоненциальной средней незначительно отличается от дисперсии ряда. С уменьшением б дисперсия экспоненциальной средней сокращается, возрастает ее отличие от дисперсии ряда. Тем самым, экспоненциальная средняя начинает играть роль «фильтра», поглощающего колебания временного ряда.

Таким образом, с одной стороны, следует увеличивать вес более свежих наблюдений, что может быть достигнуто повышением б (согласно(11)), с другой стороны, для сглаживания случайных отклонений величину б нужно уменьшить. Эти два требования находятся в противоречии. Поиск компромиссного значения параметра сглаживания составляет задачу оптимизации модели.

Иногда поиск этого значения параметра осуществляется путем перебора. В этом случае в качестве оптимального выбирается то значение б, при котором получена наименьшая дисперсия ошибки. Например, при построении этих моделей с помощью пакета "Мезозавр" в меню предусмотрена ветвь "оптимизация", реализующая поиск значения по этой схеме.

При использовании экспоненциальной средней для краткосрочного прогнозирования предполагается, что модель ряда имеет вид:

,

где – варьирующий во времени средний уровень ряда,

  случайные  неавтокоррелированные  отклонения  с  нулевым  математическим ожиданием и дисперсией .

Прогнозная модель определяется равенством:

,

где – прогноз, сделанный в момент t на ф единиц времени (шагов) вперед;

– оценка   (знак  над величиной означает оценку).

Единственный параметр модели определяется экспоненциальной средней:

Выражение (10) можно представить по-другому, перегруппировав члены:

  (13)

Величину можно рассматривать как погрешность прогноза. Тогда новый прогноз получается в результате корректировки предыдущего прогноза с учетом его ошибки. В этом и состоит адаптация модели.

Экспоненциальное сглаживание является примером простейшей самообучающейся модели. Вычисления чрезвычайно просты, выполняются итеративно, причем массив прошлой информации уменьшен до единственного значения.

Полиномиальные модели

Понятие  экспоненциальной  средней  можно  обобщить  в  случае экспоненциальных средних более высоких порядков.

Выравнивание p-го порядка:

  (14)

является простым экспоненциальным сглаживанием, примененным к результатам сглаживания (p-l)-гo порядка.

Если предполагается, что тренд некоторого процесса может быть описан полиномом степени n, то коэффициенты предсказывающего полинома могут быть вычислены через экспоненциальные средние соответствующих порядков.

В случае, когда исследуемый процесс, состоящий из детерминированной и случайной компоненты, описывается полиномом n-го порядка, прогноз на ф шагов вперед осуществляется по формуле:

,  (15)

где – оценки параметров.

Фундаментальная теорема метода экспоненциального сглаживания и прогнозирования, впервые доказанная Р. Брауном и Р. Майером, говорит о том, что (n+1) неизвестных коэффициентов полинома n-го порядка могут быть оценены с помощью линейных комбинаций экспоненциальных средних , где .

Следовательно, задача сводится к вычислению экспоненциальных средних, порядок которых изменяется от 1 до (n+1), а затем через их линейные комбинации - к определению коэффициентов полинома.

На практике обычно используются полиномы не выше второго порядка. Например, при использовании полинома первого порядка адаптивная модель временного ряда имеет вид:

,  (16)

где – значение текущего t-го уровня;