Бизнес-прогнозирование с помощью моделей временных рядов (стр. 7 )

Из (20) видно, что является взвешенной суммой текущей оценки , полученной путем очищения от сезонных колебаний фактических данных и предыдущей оценки . В качестве коэффициента сезонности берется его наиболее поздняя оценка, сделанная для аналогичной фазы цикла ().

Затем величина , полученная по первому уравнению, используется для определения новой оценки коэффициента сезонности по второму уравнению. Оценки модифицируются по процедуре, аналогичной экспоненциальному сглаживанию.

Оптимальные значения для Уинтерс предлагает находить экспериментальным путем, задавая сетку значений этих параметров. Критерием сравнения при этом выступает стандартное отклонение ошибки.

Адаптивные сезонные модели являются важной составной частью современных пакетов прикладных программ, ориентированных на решение задач прогнозирования.

5 Понятие о стационарных временных рядах

Реализация временного ряда – это выборка типа

{…, y-2, y-1, y0, y1, y2, …}. Обычно наблюдения упорядочены во времени – отсюда следует и название: временной ряд, хотя при более тщательном подходе это не всегда так.

В теории его реализация начинается в неопределенном прошлом и продолжается до неопределенного будущего, но на практике, очевидно, наблюдаемые данные - это конечное подмножество реализации временного ряда {y1, …, yN}, которое называют выборочной траекторией. И если бы основная вероятностная структура ряда со временем изменялась, мы были бы обречены – не было бы никакого способа точно предсказать будущее, основываясь на прошлом, потому что законы, действующие в будущем отличались бы от действующих в прошлом. Если мы хотим строить прогнозы значений временного ряда, мы как минимум желаем, чтобы его математическое ожидание и ковариация (то есть ковариация между текущими и прошлыми значениями) были постоянны во времени. В этом случае мы говорим, что рассматриваемый ряд является стационарным в широком смысле. То есть, стационарные в широком смысле временные ряды yt характеризуются тем, что их средние значения Myt, дисперсии Dyt и ковариации = M[(yt - Myt)(yt+τ - Mxt+τ)] не зависят от t, для которого они вычисляются.

Стохастический процесс называется строго стационарным (strictly stationary) или стационарным в узком смысле, если его свойства не зависят от изменения начала отсчета времени. Иными словами, если совместное распределение вероятностей m наблюдений , сделанные в любые моменты времени , такое же, как и для m наблюдений  сделанных в моменты времени  .

Поэтому, чтобы дискретный процесс был строго стационарным, взаимное распределение любой совокупности наблюдений не должно изменяться при сдвиге всех времен наблюдений вперед или назад на любое целое число k.

Другими словами, свойства строго стационарного временного ряда не меняются при изменении начала отсчета времени.

Часто используется понятие слабой стационарности (weak stationary) или стационарности в широком смысле, которое состоит в том, что среднее, дисперсия и ковариация yt не зависят от момента времени t.

Рассмотрим свойство стационарности временных рядов подробнее. Первое требование стационарности ряда – это постоянство среднего значения ряда во времени. Среднее значение ряда в момент t записывается как

  (22)

Если среднее значение не изменяется с течением времени, как того требует условие стационарности, то мы можем записать

  (23)

для любых t. Поскольку среднее не изменяется со временем, нет никакой необходимости помечать его индексом времени.

Вторым требованием стационарности ряда является постоянство ковариации во времени. Для отслеживания этого факта используется понятие автоковариационной функции. Автоковариация при сдвиге ф - это ковариация для различных значений одного и того же временного ряда и . Значение этой функции будет, конечно, зависеть от τ, но может также зависеть от t, поэтому в общем случае пишут

  (24)

Если ковариация не зависит от времени, как того требует условие стационарности, а зависит только от величины сдвига по времени ф, то мы можем записать , для любого t.

Автоковариационная функция важна, потому что она отражает основное понятие циклической динамики в стационарном ряде. Исследуя автоковариационную структуру ряда, мы узнаем о ее поведении в изменяющихся условиях. Это весьма удобно сделать, исследуя график поведения автоковариации как функции от ф. Обратим внимание на то, что автоковариационная функция симметричная; то есть для всех ф. Как правило, мы рассматриваем только неотрицательные значения . Симметрия отражает тот факт, что автоковариация стационарного ряда зависит только от смещения. Не имеет значения, смещаемся мы вперед или назад. Обратите внимание также, что .

Еще одно специальное требование стационарности – требование конечности дисперсии ряда (автоковариация при нулевом смещении ). Можно показать, что никакая автоковариация не может быть больше по модулю чем , так если , то также ведут себя и все остальные автоковариации.

Может показаться, что требования для стационарности весьма строгие и не предвещают ничего хорошего для наших прогностических моделей, почти все из которых требуют, так или иначе, стационарность. На самом деле, многие экономические, деловые, финансовые ряды и т. д. – не являются стационарными. Тенденция к росту, например, соответствует устойчиво увеличивающемуся среднему значению, а сезонность предполагает изменение среднего значения в зависимости от периода времени года. Оба случая – примеры нарушения стационарности.