Бизнес-прогнозирование с помощью моделей временных рядов (стр. 6 )

  – значение текущего прироста.

Процедура прогнозирования временных рядов по методу экспоненциального сглаживания сравнительно проста и состоит из следующих этапов:

Выбирается вид модели экспоненциального сглаживания, задается значение параметра сглаживания б. При выборе порядка адаптивной полиномиальной модели могут использоваться различные подходы, например, графический анализ, метод изменения разностей и др. Определяются начальные условия. Например, для полиномиальной модели первого порядка необходимо определить .

Чаще всего в качестве этих оценок берут коэффициенты соответствующих полиномов, полученные методом наименьших квадратов. Начальные условия для модели нулевого порядка обычно получают усреднением нескольких первых уравнений ряда. Зная эти оценки, с помощью указанных в таблице формул находят начальные значения экспоненциальных средних.

Производится расчет значений соответствующих экспоненциальных средних. Находятся оценки коэффициентов модели. Осуществляется прогноз на одну точку вперед, находится отклонение фактического значения временного ряда от прогнозируемого. Шаги с 3 по 5 данной процедуры повторяются для всех , где n – длина ряда. Окончательная прогнозная модель формируется на последнем шаге в момент t=n. Прогноз получается на базе выражения (15) путем подстановки в него последних значений коэффициентов и времени упреждения ф.

К положительным особенностям рассмотренных моделей следует отнести то, что при поступлении новой, свежей информации расчеты повторять не придется. Достаточно принять в качестве начальных условий последние значения функций сглаживания и продолжить вычисления.

3  Анализ периодических колебаний во временных рядах

Часто на практике встречаются процессы, носящие периодический характер и связанными с определенной циклической природой тех или иных социально-экономических явлений. После формального исключения из соответствующих исходных уровней статистического ряда уровней, определяемых общей долгосрочной тенденцией развития (тренда), исследователь в качестве материала своего изучения имеет остаток по ряду наблюдений – вектор . (). Часто даже визуального наблюдения за распределением уровней ряда бывает достаточно, чтобы заметить тенденции в их разбросе, колебания относительно некого среднего уровня. В этой связи может возникнуть мысль о наличии в ряду остатков возможной зависимости от фактора времени t, которая может фактически носить как циклическую, так и сезонную природу. Однако, несмотря на различную природу такого рода явлений, на принципиальную разницу их генезиса, формально мы можем попытаться идентифицировать произвольные колебательные движения социально-экономических процессов с помощью схожего аппарата формализации, в частности, попытаться представить изучаемый ряд (для дальнейшего рассмотрения примем вновь обозначение yt) разложением Фурье.

Пусть имеется N наблюдений над переменной Y (для упрощения дальнейших выкладок примем, что N - четное).

m – период колебаний, т. е. промежуток времени, через который наша искомая функция в точности повторит свои значения.

За исходное примем, что в N укладывается целое число (h) периодов длины m, т. е. h = N/m или N=h*m. Например, если аналитик изучает динамику некоторого явления, описанного показателем Y  за три года с помесячной регистрацией статистики, то в наших обозначениях это запишется следующим образом: длина наблюдаемого ряда N=36 месяца; предполагаемая длина периода m=12; целое число периодов наблюдаемой статистики h=3).

Заданную числовую последовательность Yt можно попытаться представить в виде:

,

где – случайная составляющая изучаемого ряда ();

  – некоторая периодическая функция с периодом m.

Утверждение. Если числовая последовательность y1, y2, … yN  имеет период m, тогда эту последовательность можно представить как сумму m периодических тригонометрических функций, имеющих период m и меньше. Иначе говорят: функция разложима в ряд Фурье вида:

  (17)

где – i-я тригонометрическая функция.

4 Сезонность. Аддитивная и мультипликативная модели

Многие экономические временные ряды содержат периодические сезонные колебания. Такие ряды могут быть описаны моделями двух типов – моделями с мультипликативными (18) и с аддитивными коэффициентами сезонности (19):

  (18)

,  (19)

Где – характеристика тенденции развития,

  – аддитивные коэффициенты сезонности,

  – мультипликативные коэффициенты сезонности,

  – количество фаз в полном сезонном цикле (для ежемесячных наблюдений =12, для квартальных – =4),

  – случайная компонента с нулевым математическим ожиданием.

Очевидно, что можно составить множество адаптивных сезонных моделей, перебирая различные комбинации типов тенденций в сочетании с сезонными эффектами аддитивного и мультипликативного вида. Выбор той или иной модели будет продиктован характером динамики исследуемого процесса. В качестве примера рассмотрим модель Уинтерса с линейным характером тенденции и мультипликативным сезонным эффектом. Эта модель является объединением двухпараметрическои модели линейного роста Хольта и сезонной модели Уинтерса, поэтому ее чаще всего называют моделью Хольта-Уинтерса.

Прогноз по модели Хольта-Уинтерса на ф  шагов вперед определяется выражением:

  (20)

Обновление коэффициентов осуществляется следующим образом:

  (21)