Кинематика вращательного движения

Кинематика вращательного движения

Поступательное и вращательное движение

В данном примере траектория центра масс - окружность, остальные точки тела также движутся по окружностям, но центры этих окружностей не лежат на одной прямой.

а) поступательное движение. Любая линия, проведенная в твердом теле, при движении остается параллельной самой себе.

Здесь, как и в предыдущем примере, центр масс тела движется по той же окружности.

б) вращательное движение, центр масс движется по окружности того же радиуса. Каждая точка твердого тела движется по своей окружности; центры всех окружностей лежат на прямой, называемой осью вращения.

Псевдовектор бесконечно малого поворота

При повороте тела на угол dц, вводят псевдовектор бесконечно малого поворота . В правой системе координат направление определяют правилом правого винта: винт, расположенный вдоль оси, вращается вместе с телом, направление его поступательного движения определяет направление псевдовектора. В левой системе координат направление псевдовектора изменится на обратное, истинный вектор при этом не меняет направления.

Угловая скорость и угловое ускорение

Рассмотрим твердое тело, которое вращается вокруг неподвижной оси. Тогда отдель­ные точки этого тела будут описывать окружности разных радиусов, центры которых лежат на оси вращения. Пусть некоторая точка движется по окружности радиуса R (рис. 6). Ее положение через промежуток времени Δt зададим углом Δ. Элементар­ные (бесконечно малые) повороты можно рассматривать как векторы (они обозначают­ся или ). Модуль вектора равен углу поворота, а его направление совпадает с направлением поступательного движения острия винта, головка которого вращается в направлении движения точки по окружности, т. е. подчиняется правилу правого винта (рис.6). Векторы, направления которых связываются с направлением вращения, назы­ваются псевдовекторами или аксиальными векторами. Эти векторы не имеют опреде­ленных точек приложения: они могут откладываться из любой точки оси вращения.

Угловой скоростью называется векторная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени:

Вектор направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта, т. е. так же, как и вектор (рис.7). Размерность угловой скорости dim ω=T–1, а ее единица — ради­ан в секунду (рад/с).

Линейная скорость точки (см. рис. 6)

т. е.

В векторном виде формулу для линейной скорости можно написать как векторное произведение:

При этом модуль векторного произведения, по определению, равен , а направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к R.

Если ( = const, то вращение равномерное и его можно характеризовать периодом вращения T — временем, за которое точка совершает один полный оборот, т. е. поворачивается на угол 2π. Так как промежутку времени Δt = T соответствует = 2π, то = 2π/T, откуда

Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении по окружности, в единицу времени называется частотой вращения:

откуда

Угловая скорость

, или . Псевдовектор направлен так же, как и псевдовектор , (6.2). 6.4. Угловое ускорение (сравните с 3.10) .

Связь линейной скорости материальной точки твердого тела и угловой скорости

откуда

Угловым ускорением называется векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени:

При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости. При ускоренном движении вектор сонаправлен вектору (рис.8), при замедлен­ном — противонаправлен ему (рис.9).

Тангенциальная составляющая ускорения

Нормальная составляющая ускорения

Таким образом, связь между линейными (длина пути s, пройденного точкой по дуге окружности радиуса R, линейная скорость v, тангенциальное ускорение , нормальное ускорение ) и угловыми величинами (угол поворота φ, угловая скорость ω, угловое ускорение ε) выражается следующими формулами:

В случае равнопеременного движения точки по окружности (ε=const)

 

где  ω0 — начальная угловая скорость.

Задача:

Колесо радиусом R=0,1 м вращается так, что зависимость угловой скорости от времени задается уравнением ω = 4t + 5t4. Определить полное ускорение точек обода колеса через t=1 с после начала вращения и число оборотов, сделан­ных колесом за это время. [а=8,5 м/с2; N=0,48]

6.6. Связь линейного ускорения материальной точки твердого тела с угловой скоростью и угловым ускорением
Продифференцируем (6.5) по времени:

,

,

из (3.10.1) , используя (6.4)

.

Из (3.10.1) , заменяя , (6.5), получим

.