Методы решения тригонометрических уравнений (стр. 2 )

       Ряд тригонометрических уравнений можно решить, если свести их к квадратному уравнению относительно той или иной тригонометрической функции.

       2.1. Решить уравнение: .

Решение.

Сделаем замену t = sinx, │t│ ≤ 1.

Приведем к квадратному уравнению относительно новой переменной

2t2 + t – 1 = 0, корни которого легко могут быть найдены: t1 = -1, t2 = 1/2.

Получаем два уравнения: sinx = -1, sinx = .

Откуда получаем две серии решений: x1 = -, x2 = (-1)n + 2рn, .

       2.2. Решить уравнение: 3sinx - 2cos2x = 0.

Решение.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и получим 2sin2x + 3sinx - 2 = 0.

Создаем замену t = sin x,│t│ ≤ 1.

Приходим к новому уравнению относительно новой переменной 2t2 + 3t – 2 = 0, корни которого t1 = , t2 = -2, второй корень уравнения не удовлетворяет условию .

sinx = ,

x = (-1)n + рn, .

Ответ: (-1)n + рn, .

       2.3. Решить уравнение: 1 - sinx - cosx = 0.

Решение.

Используя формулы  понижения степени получим

1 - = 0,

т. е квадратное уравнение 2cos2x + cos2x – 1 = 0 oтносительно функции cos2x.

Далее имеем:

cos2x =

2x =

x = +

2) cos2x = -1,

2x =

x = +

Ответ:  + +

2.4. Решить уравнения:

а) 5sinx + 6cosx – 6 = 0	Ответ:
б) 8sinx + cosx + 1 = 0	Ответ:
в) 2tgx + 3tgx – 2 = 0	Ответ:
г) 2ctgx - 3tgx + 5 = 0	Ответ:
д) tgx - 3tgx = 0	Ответ:
е) 2sinx + sinx = 0	Ответ:
ж) 2sinx - 5cosx = 4	Ответ:
з) sinx + cosx = 0	Ответ:
и) 3tgx + 2ctgx – 5 = 0	Ответ:
к) tgx + 2tgx + 3tgx = 0	Ответ:

3. Метод решения тригонометрических равнений разложением на множители. 

       

       Метод заключается в переносе всех слагаемых  в левую часть уравнения и разложением его на множители. После этого уравнение распадается на несколько других, имеющих более простой вид.

       3.1. Решить уравнение: sin4x = 3cos2x.

Решение.

Воспользуемся формулой двойного угла. Уравнение запишем в виде:

2sin2x ⋅ cos2x - 3cos2x = 0.

Разложим левую часть уравнения на множители:

(2sin2x - 3) ⋅ cos2x = 0.

Последнее уравнение равносильно совокупности уравнений:

2sin2x – 3 = 0, cos2x = 0.

Первое уравнение совокупности решений не имеет т. к. функция sin х  не может принимать значений по модулю больших единиц.

Решение второго уравнения: .

Ответ: .

3.2 Решить уравнения:

а) (1 + sin2x)(cosx - sinx) = 1 - 2sinx	Ответ:
б)  3tgІx = - tgx	Ответ:
в) cos2x(1 - 2sinx) = 0	Ответ:
г) sinx ⋅ sin3x = sin4x	Ответ:
д) sinx + cosx = 1 + sin2x;	Ответ:
е) sinx - sin2x = - sin3x + sin4x.	Ответ:

4.  Решение однородных тригонометрических уравнений.

       Уравнения вида , где А и В некоторые числа, называются однородными уравнениями первой степени относительно и Делим обе части  уравнения на cosx. Это выполнить можно, т. к. те значения х при которых cosx = 0, не являются корнями данного уравнения. Затем решаем простейшее тригонометрическое уравнение.

       4.1. Решить уравнение:.

Решение.

Разделим обе части на , ≠ 0, ,.