Методы решения тригонометрических уравнений (стр. 1 )

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №6»

Методы решения

тригонометрических уравнений

Учебное пособие

Нефтеюганск 2006

  В пособии излагаются основные методы решения тригонометрических уравнений. Каждый метод содержит краткую теорию или указания, образцы решения задач, упражнения для самостоятельной работы, а также ответы к ним. Это позволит учащимся освоить простые и стандартные методы решения уравнений и на их основе решать более сложные тригонометрические уравнения, требующие от учащихся определенных усилий.

       Пособие дополняет школьный учебник, позволяет увидеть  все  типы тригонометрических уравнений в системе. Необходимо учащимся, абитуриентам при подготовке к экзаменам, а также поможет учителям при подготовке к урокам.

Оглавление.

Простейшие тригонометрические уравнения………….…………………...	4
2. Решение уравнений методом сведения к квадратному относительно той  или иной тригонометрической функции………….…………………………..	6
3. Метод решения тригонометрических равнений разложением на множители………….…………………………….……………………………..	9
4. Решение  однородных тригонометрических уравнений…………………..	10
5. Решение уравнений методом понижения порядка…………………………	13
6. Метод замены переменной…………………………………………………..	14
7. Решение уравнений методом универсальной тригонометрической подстановки……………………………………………………………………..	17
8. Решение уравнений методом введения вспомогательного угла…………..	19
9. Решение уравнений преобразованием суммы или разности тригонометрической функции в произведение……………………………….	21
10. Решение тригонометрических уравнений  преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму или разность………..	24
11. Методы решения уравнений, содержащих тригонометрические функции под знаком радикала………………………………………………….	26
12. Решение уравнений, содержащих знак абсолютной величины………….	29
13. Решение уравнений с учетом специфики тригонометрических функций	34
Литература……………………………………………………………………….	38

1. Простейшие тригонометрические уравнения.

       При решении тригонометрических уравнений нужно четко представлять себе, как записываются решения простейших тригонометрических уравнений.

Уравнение	Формула решений
sinx = a,	x = arcsina+πn, n
cosx = a,	x = arcosa+2πn, n

Если,  то уравнения sinx = a, cosx = a решений не имеют.

tgx = a	x = arctga + πn, n
ctgx = a	x = arcctga + πn, n

Частные случаи решения уравнений.

sinx = 0	x = + 2πn, n
sinx = 1	x = + 2πn, n
sinx = -1	x = - + 2πn, n
cosx = 0	x = + 2πn, n
cosx = 1	x = 2πn, n
cosx = -1	x = π + 2πn, n

При решении тригонометрических уравнений нужно иметь в виду, что функции, входящие в уравнение, могут быть определены не для всех значений х.

Например, функция tgx определена при х ≠ + πn, функция сtgx определена при х ≠ πn, n.

1.1. Решить уравнение sin 2x = .

Решение.

2x = arcsin + ,

2x = + ,

x = + .

       1.2. Решить уравнение: сos = -.

Решение.

= ,

= ,

x = .

1.3. Решить уравнение: tg.

Решение.

2x + = - + ,

2x = + ,

x = + .

1.4. Решить уравнения:

а) cos = 0	Ответ: + 4
Б)cos =	Ответ:
в) cos = -	Ответ:
г)ctg = -	Ответ:
д) ctg = -	Ответ:
е) tg =	Ответ:
Ж)sin + 1 = 0	Ответ: + + n,

2. Решение уравнений методом сведения к квадратному относительно той  или иной тригонометрической функции.