Методы решения тригонометрических уравнений (стр. 5 )

,

.

Преобразуем и получим:

t  = ,  tg = ,

.

Ответ: ,  ,. 

7.2. Решить уравнения:

а) sinx - cosx =	Ответ: 2arctg + 2 + 2
б) sin2x + tgx = 2	Ответ: +
в) sinx - cosx =	Ответ: + 2

8. Решение уравнений методом введения вспомогательного угла.

       

Уравнения вида , где a, b, c – произвольные действительные числа, решаются введением  вспомогательного угла.

Делим обе части уравнения на

Получаем уравнение: .

Положим , где

При >1  уравнение корней не имеет.

При   решением уравнения будут

Возможны и другие преставления левой части уравнения, например, через косинус:

, где

8.1. Решить уравнение:

Решение.

Данное уравнение можно решить, рассматривая его как однородное квадратное относительно функций и . Проще же ввести вспомогательный угол. Найдём с

Раздели обе части уравнения на : .

Преобразуем левую часть уравнения , где sin  

Положим , тогда

8.2. Решить уравнение: .

Решение.

,

,

,  .

Ответ:,+,.

       8.3. Решить уравнение: .

Ответ:,.

8.4. Решить уравнения:

а) sin3x - cos3x = 1	Ответ:
б) 4sinx + 3cosx = 5	Ответ:

9. Решение уравнений преобразованием суммы или разности тригонометрической функции в произведение.

После применения формул:

sin+ = 2sincos,

sin- = 2sincos,

cos- = -2 sin sin,

cos+ = 2coscos,

tg = .

9.1. Решить уравнение: sin2x = cos3x.

Решение.

Используем формулу приведения, запишем

cos3x = sin,

поэтому cos3x - sin = 0,

2sincos = 0

,

,