Методы решения тригонометрических уравнений (стр. 6 )

,

n, k.

Ответ: , ,  n, k.

       9.2. Решить уравнение: сos3x + sin2x - sin4x = 0.

Решение.

Воспользовавшись формулой преобразования разности синусов в произведение, перепишем исходное уравнение в виде:

cos3x + (-2sinx ⋅ cos3x) = 0

cos3x(1 - 2sinx) = 0

Данное уравнение равносильно совокупности уравнений , ,

n, k.

Ответ: , , n, k.

9.3. Решить уравнение: sinx - cos3x = sinx ⋅ cos4x.

Решение.

Заменим  разность синусов в левой части уравнения произведением, получим:

2sin(-x) ⋅ cos2x = sinx ⋅ cos4x,

-2sinx ⋅ cos2x = sinx ⋅ cos4x,

2sinx ⋅ cos2x + sinx ⋅ cos4x = 0,

sinx(2cos2x + cos4x) = 0,

1) sin x = 0, x =, k,

2) 2cos2x + 2cos22x – 1 = 0,

  cos2x = , x = arccos + , k; cos2x = , корней нет.

Ответ: , arccos + , .

9.4. Решить уравнения:

а) sinx - sin2x + sin3x - sin4x = 0	Ответ: 2,
б) sin3x - sin7x = sin2x	Ответ:
в) cosx = sin2x + cos3x	Ответ: +

10. Решение тригонометрических уравнений  преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму или разность.

       Этот метод заключается в применении формул:

sinx ⋅ siny = (cos(x - y) - cos(x + y))

cosx ⋅ cosy = (cos(x + y) + cos(x - y))

sinx ⋅ cosy = (sin(x + y) + sin(x - y))

После их применения уравнение либо удается разложить на множители, либо существенно упростить.

10.1. Решить уравнение:  sin5x ⋅ cos3x = sin6x ⋅ cos2x.

Решение.

Применим к обеим частям уравнения формулу преобразования тригонометрических функций в сумму.

Получим уравнение:

(sin8x + sin2x) = (sin8x + sin4x),

которое можно привести к виду:

sin2x - sin4x = 0.

Воспользовавшись формулой преобразования разности синусов в произведение, приходим  к уравнению:

-2sinx · cos3x = 0,

равносильному совокупности двух простейших уравнений:

Следовательно, уравнение имеет две серии решений:  .

Ответ: πn,+, .

10.2. Решить уравнения:

а) sin2x · sin6x = cosx · cos3x	Ответ:,+,
б) sinx · sin3x =	Ответ: ,
в) cosx · cos5x = , -	Ответ: 0;;;
г) sin3x · cos9x = sin5x · sin7x	Ответ: ,
д) sinx · sin2x · sin3x =	Ответ: нет корней.
е) sin2x · cosx = sinx · cos2x	Ответ:,
ж) cos2x · cosx = cos2,5x · cos0,5x	Ответ: 2

11. Методы решения уравнений, содержащих тригонометрические функции под знаком радикала.

При решении иррациональных уравнений применяют два метода. В первом после преобразований получают рациональное уравнение, являющееся  следствием исходного. При этом обязательно проверить полученные решения. Во втором применяется метод равносильных преобразований.

1)

Проверка корней

2)

11.1. Решить уравнение:

Решение.

Запишем систему, равносильную исходному уравнению:

Преобразуем первое уравнение данной системы:

Разложим его на множители:откуда следует совокупность двух уравнений:

 

Условию удовлетворяет решение.