Методы решения тригонометрических уравнений (стр. 4 )

При решении однородных тригонометрических уравнений и уравнений, сводящихся к квадратным, используется метод замены переменной. Этот же метод используется и в следующих случаях.

Если тригонометрическое уравнение содержит синус или косинус одного и того же аргумента х, причем sinx – только в четных степенях, то выполняется замена  cosx = t, cosx - только в четных степенях, то выполняется замена  sinx = t.

6.1. Решить уравнение 8sinx - 2cosx - 6sinx = cos2x.

Решение:

8sinx - 2cosx - 6sinx = 2,

8sinx - 4cosx - 6sinx + 1 = 0.

Пусть sinx = t, тогда cos2x = 1 – t2,

8t3 - 4(1 - t2) - 6t + 1 = 0,

8t2(t + ) - 6(t + ) = 0,

8(t2 - )(t + ) = 0,

t = , t = - .

Вернемся к переменной х:

sin x = ,

sin x = -,

sin x = -,

x = + , x = + .

Ответ: + , + .

Если тригонометрическое уравнение содержит выражения

cosx sinx и cosx ⋅ sinx,

то его можно решить с помощью замены cosx sinx = t.

6.2. Решить уравнение: 1 - sin2x = sinx - cosx.

Решение.

1 - sin2x = sinx – cosx,

1 - 2sinx ⋅ cosx = sinx – cosx.

Пусть sinx – cosx = t,

(sinx - cosx)2 = t2,

sin2x - 2sinx ⋅ cosx + cos2x = t2,

c учетом основного тригонометрического тождества получим:

-2sinx ⋅ cosx = t2 - 1,

подставим в уравнение и получим

1 + t2 - 1 – t = 0,

t2 - t = 0, t = 0, t = 1.

Вернемся к переменной x:

sinx – cosx = 0,	sinx – cosx = 1,
sin(x - ) = 0,	sin(x - ) = ,
x - =	x - = (-1)n +
x = +	x = (-1)n + +

Ответ: + , (-1)n + + .

6.3. Решить уравнения:

а) sinx + cosx - 2sinx ⋅ cosx = 0	Ответ:  + 2, (-1)n+1- +
б) sin2x - 12(sinx - cosx) + 12 = 0	Ответ:  (-1)n + +
в) sinx + cosx + sinx ⋅ cosx = 1	Ответ:  (-1)n - +
г) 2sin2x - 3(sinx - cosx) + 2 = 0	Ответ:  - +
д) 5sin2x - 12(sinx - cosx) + 12 = 0	Ответ:  + 2 + 2
е) (sinx - cosx) = tgx + ctgx	Ответ:  + 2

7. Решение уравнений методом универсальной тригонометрической подстановки.

       Все  тригонометрические функции, входящие в уравнение выражаются через тангенс половинного угла:

; ; ; .

       Использование этих формул  требует внимательности, т. к. левая и правая части  определены на различных множествах.  Это может привести к потере корней или к приобретению посторонних корней.

7.1. Решить уравнение:  2sinx – 3cosx – 3 = 0.

Решение.

Определим ОДЗ:R.

Пусть  tg = t, тогда , , . 

Проверим являются ли корнем уравнения число вида , где корнем уравнения 

2sin() – 3cos() – 3 = 0,

0 – 3(-1) – 3 = 0,

0 = 0.

Значит  x = , корни уравнения.