Является ли последовательность чисел 3; 0; -3; -6; -9 арифметической прогрессией?
    Обозначим члены заданной последовательности a1=3; a2=0; a3=-3; a4a=-6; a5=-9

Найдем разность последующего и предыдущего членов последовательности:

a2-a1=-3; a3-a2=-3; a4-a3=-3; a5-a4=-3.

Так как полученные разности равны одному и тому же числу -3, то эта последовательность является арифметической прогрессией

Ответ: да.

Между числами 7 и 15 вставить такое число, чтобы все три числа образовали арифметическую прогрессию.
    Пусть х – искомое число, тогда последовательность 7;  х;  15 – арифметическая прогрессия. Второй член арифметической прогрессии является средним арифметическим первого и третьего членов:  x=(7+15)/2=11.

Ответ: 11.

Найти девятый член арифметической прогрессии  5;  4,2; 3,4;  …
    Имеем: a1=5. Найдем разность прогрессии: d=4,2-5=-0,8. Тогда a9=a1+8d=5+8 (-0,8)=-1,4. 

Ответ: -1,4.

Найти первый член арифметической прогрессии, в которой d=-2; a8=93.
    Используя формулу n члена арифметической прогрессии при n=8, получим 93=a1+7 (-2). Отсюда a1=93+14=107.

Ответ: 107.

Является ли число 181 членом арифметической прогрессии, в которой a1=3, d=5?
    Число 181 будет членом прогрессии, если существует такое натуральное число n  - порядковый номер члена прогрессии, что an=181. Так как an=a1+(n-1)d, то 181=3+(n-1)5. Решим полученное уравнение: n=36,6. Число 36,6 не является натуральным, поэтому число 181 не является членом данной арифметической прогрессии.

Ответ: нет.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?
Найти первый член и разность арифметической прогрессии, если сумма второго и пятого ее членов равна 20, а разность девятого и третьего членов равна 18.
    По условию имеем: a2+a5=20, a9-a3=18. Записав члены a2, a5,  a3  и a9  по формуле

n  члена арифметической прогрессии, получим систему уравнений:

Ответ: 2,5; 3.

Найти сумму нечетных натуральных чисел, не превышающих 71.
    Нечетные натуральные числа образуют арифметическую прогрессию 1; 3; 5; …, в которой a1=1, d=2, an=2n-1.  Найдем, какой порядковый номер имеет член 71 этой прогрессии: 71=2n-1; n=36.

Следовательно, нужно искать сумму первых тридцати шести членов прогрессии.

Имеем:

Ответ: 1296.

Найти сумму натуральных чисел не больше 105, которые при делении на 9 дают остаток 1.
    Натуральные числа, которые при делении на 9 дают остаток 1, образуют арифметическую прогрессию: 1; 10; 19; …, в которой a1=1, d=9, an=9n-8. Найдем, сколько членов этой прогрессии не превышают 105. Для этого решим неравенство

 

Следовательно, нужно искать сумму первых двенадцати членов прогрессии. Имеем:

Ответ: 606.



Сколько нужно взять первых членов арифметической прогрессии, в которой a1=2; d=1, чтобы их сумма равнялась 90?
    Используя формулу суммы n первых  членов арифметической прогрессии, получим:

Корень n1=-15  не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, n=12.

Ответ: 12.

Найти знаменатель и третий челн геометрической прогрессии 1; 1,5; …
    В этой прогрессии b1=1; b2=1,5. Поэтому q=b2/b1=1,5; b3=b2q=1,5 1,5=2,25

Ответ: 1,5; 2,25.

Найти второй член геометрической прогрессии  -4; b2; -25;….
    Согласно свойству геометрической прогрессии b22=b1b3 =(-4)(-25)=100. Отсюда b2=10  или b2=-10.

Ответ: 10 или -10.

Найти знаменатель геометрической прогрессии, в которой  b7=-12;

b9=-108.

    Используя формулу  n-го члена геометрической прогрессии, получим:

b9=b1q8=-108, b7=b1q6=-12.  Отсюда q2=9; q=3  или q=-3.

Ответ: -3 или 3.

Найти первый член геометрической прогрессии, если четвертый ее член в три раза больше третьего, а сумма первых пяти челнов равна -12,1.
    Так как b4=3b3, то q=3. По условию S5=-12,1, поэтому:

-12,1= ;  b1=-0,1.

Ответ: -0,1.

Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии 6; -2; …
    По условию b1=6; b2=-2. Тогда q=-2/6=-1/3. Имеем геометрическую прогрессию, в которой . По формуле   находим:

S=6: 4/3=4,5.

Ответ: 4,5.



СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ ПО ПОВТОРЕНИЮ
Разложение многочленов на множители
    Вынесение общего множителя за скобки Способ группировки Формулы сокращенного умножения
Линейные уравнения.

Определение: Линейным называют уравнение вида ах = b, где а и  b – данные числа, х – переменная

Основные свойства уравнений:

    в любой части уравнения можно привести подобне слагаемые или раскрыть скобки любой член уравнения можно перенести из одной части уравнения в другую, поменяв при этом знак слагаемого на противоположный обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля

Примеры решения линейных уравнений:

1)

2)

3) ǿ

4)

Линейные неравенства

Определение: линейным неравенством с одной переменной называется неравенство вида ax + b>0 (ax + b <0), где а и b – даные числа.

Основные свойства неравенств:

    Если слагаемое перенести из одной части неравенства в другую, поменяв при этом знак на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, получим неравенство, равносильное данному Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, поменяв при этом знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.

  Примеры решения линейных неравенств:

1)

2)

3)        

4)ǿ


Квадратные уравнения

Определение: Квадратным называется уравнение вида ax2 + bx + c=0, где а, b и с – некоторые числа, х – переменная, причем а≠0

Дискриминантом квадратного уравнения называют выражение D=b2-4ac

    Если D < 0, то уравнение не имеет корней Если D =0, то уравнение имеет один корень: Если D > 0, то уравнение имеет два корня:

Квадратичные неравенства

  Определение: Если левой частью неравенства является выражение

  ax2 + bx + c, где а≠0, правой – нуль, то его называют квадратичным неравенством.

Решение квадратичних неравенств с помощью графиков:



Метод интервалов Если на промежутке (a; b) функция y=f(x) определена и не равна нулю, то для всех значений переменной х из этого промежутка она сохраняет свой знак Алгоритм решения неравенств методом интервалов:
    Найти D(f) Найти нули функции Найти и изобразить на координатной прямой промежутки, на которых функция сохраняет знак Записать решение неравенства

Системы уравнений

Если необходимо найти общее решение двух или нескольких уравнений, то говорять, что эти уравнения образуют систему

Решением системы называют общее решение всех ее уравнений

Решить систему уравнений означает найти множество всех ее решений

Способы решения систем уравнений:

Способ подстановки
    выразить из одного из уравнений системы одну переменную через другую подставить во второе уравнение системы полученное выражение решить полученное уравнение с одной переменной найти соответсвующее значение второй переменной
Способ сложения
    Применяя свойства равносильных уравнений, свести систему к виду, удобному для применения способа сложения Заменить в системе одно из уравнений суммой Решить полученное уравнение с одной переменной Найти соответствующее значение второй переменной
Графический способ

Построить в одной системе координат графики обоих уравнений системы. Координаты точек пересечения этих графиков являются решениями системы уравнений

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3