МОДУЛЬ 1: Теория делимости в кольце целых чисел
Теорема о делении с остатком. Делимость нацело и её свойства. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида. Линейное разложение НОД. Наименьшее общее кратное. Взаимно простые числа и их свойства. Простые числа и их свойства. Основная теорема арифметики. Бесконечность количества простых чисел в арифметических прогрессиях. Решето Эратосфена. Мультипликативные функции. Количество τ(n) и сумма σ(n) делителей натурального числа. Функция Эйлера и её основные свойства. Конечные цепные дроби. Подходящие дроби и их основные свойства. Теорема о представлении рациональных чисел конечными цепными дробями. Применение конечных цепных дробей к нахождению линейного разложения НОД. Бесконечные цепные дроби. Значение бесконечной цепной дроби. Теорема о представлении иррациональных чисел бесконечными цепными дробями. Признак иррациональности числа и иррациональность числа e. Подходящие дроби как наилучшие приближения действительных чисел рациональными.
МОДУЛЬ 2: Теория сравнений
Отношение сравнимости по модулю и его основные свойства. Кольцо Zn, поле Zp и группа Zn*. Полная и приведённая системы вычетов. Теоремы Эйлера и Ферма. Китайская теорема об остатках. Полиномиальные сравнения и их решения. Редукция сравнения по составному модулю к модулю, являющемуся степенью простого числа, а затем – к простому модулю. Структура решений линейного сравнения первой степени. Методы решения. Показатель числа (или класса вычетов) по заданному модулю и его основные свойства. Первообразные корни по заданному модулю. Количество и структура первообразных корней. Существование первообразных корней по простому модулю. Первообразные корни по модулям p и 2⋅p (p – простое число). Индекс числа (или класса вычетов) относительно первообразного корня по данному модулю. Индексы по модулям p и 2⋅p (p – простое число). Двучленные сравнения по простому модулю. Квадратичные вычеты и невычеты. Символ Лежандра и его свойства. Квадратичный закон взаимности Гаусса*. Сравнения второй степени по произвольному модулю*.
МОДУЛЬ 3: Арифметические приложения теории сравнений
Нахождение остатков полиномиальных и экспоненциальных выражений с помощью теоремы Эйлера. Проверка арифметических действий с помощью сравнений по подходящим модулям. Обобщённый признак делимости Паскаля. Признаки делимости на 2 т, 5 т, 3, 9, 11 [, 7, 13]*. Конструирование признаков делимости на заданное число. Конечные и бесконечные десятичные дроби.*
МОДУЛЬ 4: Алгебраические и трансцендентные числа
Определение алгебраических и трансцендентных (над Q) чисел. Доказательство существования трансцендентных чисел по Кантору.* Теорема Эрмита-Линдемана.* Теорема Лиувилля о приближениях алгебраического числа рациональными числами и её применение к построению трансцендентных чисел и доказательству иррациональности некоторых чисел.*
6. Планы практических занятий
№ | Модуль | План практического занятия |
Семестр III | ||
1 | Модуль 1: Теория делимости в кольце целых чисел | Теорема о делении с остатком. Действия с остатками. Делимость нацело и её свойства. |
2–3 | Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида. Линейное разложение НОД. | |
4 | Наименьшее общее кратное. Взаимно простые числа. | |
5 | Простые числа и их свойства. Основная теорема арифметики. Решето Эратосфена. | |
6 | Количество τ(n) и сумма σ(n) делителей натурального числа. | |
7 | Конечные цепные дроби. Подходящие дроби и их основные свойства. Представление рациональных чисел конечными цепными дробями. Применение конечных цепных дробей к нахождению линейного разложения НОД. | |
8 | Бесконечные цепные дроби. Значение бесконечной цепной дроби. Представление иррациональных чисел бесконечными цепными дробями. | |
Семестр IV | ||
1–2 | Модуль 2: Теория сравнений | Отношение сравнимости по модулю и его основные свойства. Кольцо Zn, поле Zp и группа Zn*. Полная и приведённая системы вычетов. |
3–4 | Функция Эйлера и её применения. Теоремы Эйлера и Ферма. Китайская теорема об остатках. Их применения. | |
5–6 | Линейные сравнения первой степени. Структура решений линейного сравнения первой степени. | |
7–8 | Первообразные корни и индексы по заданному модулю. |
№ | Модуль | План практического занятия |
9 | Модуль 3: Арифметические приложения теории сравнений | Проверка арифметических действий с помощью сравнений по подходящим модулям. |
10–11 | Обобщённый признак делимости Паскаля. Признаки делимости на 2 т, 5 т, 3, 9, 11 [, 7, 13]*. Конструирование признаков делимости на заданное число. | |
12–14 | Конечные и бесконечные десятичные дроби.* | |
15–16 | Модуль 3: Алгебраические и трансцендентные числа | Алгебраические и трансцендентные (над Q) числа. Нахождение уравнений (и минимальных уравнений) для иррациональностей. |
17–18 | Конструирование уравнений для сумм, разностей, произведений и частных алгебраических чисел. | |
19–20 | Конструирование трансцендентных чисел Лиувилля. |
7. Лабораторный практикум
Лабораторный практикум по дисциплине не предусмотрен.
8. Примерная тематика курсовых работ
Тема 1: Приближение действительных чисел рациональными дробями
Цель работы: изучить бесконечные цепные дроби и показать, что подходящие дроби дают лучшие приближения, чем приближения десятичные с примерно такими же знаменателями, что и у подходящих дробей.
План
Рассмотреть приближения действительных чисел подходящими дробями, привести примеры таких приближений ([1], с. 172-175 или [2], c.224-228). Доказать теорему Дирихле о диофантовых приближениях ([1], c. 179-181 или [2], c.230-231). Показать, что приближение подходящей дробью даёт большую точность, чем приближение соответствующей десятичной дробью ([1], c. 183-186 или [2], c. 237-241.Литература
Теория чисел. – М.: Высшая школа, 1966.384 с. Теория чисел. – СПб: Издательство “Лань”, 2012.Тема 2: Представление иррациональных чисел цепными дробями
Цель работы: изучить основные понятия, относящиеся к бесконечным цепным дробям, а также способы разложения иррациональных чисел в цепные дроби.
План
Дать определение бесконечной цепной дроби и изложить (со ссылкой на теорию конечных цепных дробей) свойства подходящих дробей. Дать определение сходимости и доказать, что бесконечная цепная дробь всегда сходится к некоторому иррациональному числу. Доказать обратное утверждение: любое иррациональное число разлагается в бесконечную цепную дробь. Привести примеры разложений иррациональных чисел в цепные дроби. Рассмотреть для этой цели несколько квадратичных и кубических иррациональностей (типа
). Литература
Тема 3: Основная теорема арифметики
Цель работы: разобраться в доказательстве основной теоремы арифметики в кольце целых чисел и познакомиться с арифметикой целых гауссовых чисел (в которой также выполняется основная теорема арифметики); привести пример, в котором не выполняется утверждение об однозначности разложения.
План
НОД. Алгоритм Евклида. Решение диофантовых уравнений с двумя неизвестными. Простые числа, их свойства. Основная теорема арифметики.Литература
Основная теорема арифметики. М.: Наука, 1969. Элементы теории чисел, Энциклопедия элементарной математики, кн.1, Арифметика, Гостехиздат, 1951. Деление с остатком в арифметике и в алгебре (сер. “Педагогическая библиотека учителя”), изд. Академии педагогических наук РСФСР, 1949. Теория чисел. – СПб: Издательство “Лань”, 2012. Высшая арифметика. – М.: Наука, 1965.Тема 4: Некоторые диофантовы уравнения
Цель работы: изучить различные методы решения диофантовых уравнений и применить метод бесконечного спуска для доказательства неразрешимости некоторых диофантовых уравнений.
План
Дать определения и привести примеры диофантовых уравнений. Сформулировать и обосновать критерий разрешимости общего линейного диофантова уравнения a1⋅x1 + … + an⋅xn = b. Изучить и изложить метод решения произвольного полиномиального диофантова уравнения от одного неизвестного. Изложить методы решения некоторых диофантовых уравнений второй степени: например, x2 – y2 = n, x2 + y2 = z2. Изучить метод бесконечного спуска и применить его для доказательства отсутствия нетривиальных решений некоторых диофантовых уравнений: например, x4 + y4 = z2, x4 + y4 = z4. Сформулировать Великую теорему Ферма и изложить краткую историю её доказательства.Литература
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 |
