Теория чисел (стр. 6 )

Тема:  Символ  Лежандра  и закон взаимности  Гаусса.

Что такое символ Лежандра? Какая связь символа  Лежандра  с квадратичными сравнениями? Сформулируйте основные правила для вычисления символа  Лежандра. Докажите несколько нетривиальных правил. Вычислите  . Сформулируйте квадратичный закон взаимности  Гаусса. Как связаны  ? Разрешимы ли сравнения:  x2 ≡ 17  (mod 43),  x2 ≡ 43  (mod 17)  ? Опишите основные идеи любимого  Вами доказательства квадратичного закона взаимности  Гаусса.

МОДУЛЬ  IV.  Алгебраические  и  трансцендентные  числа

Тема:  Теорема  Лиувилля  о приближениях алгебраического числа рациональными числами и её применение к построению трансцендентных чисел и доказательству иррациональности некоторых чисел.

Что такое алгебраическое число? Что такое трансцендентное число? Докажите, что число    является алгебраическим. Приведите известные  Вам  примеры трансцендентных чисел. Сформулируйте теорему  Лиувилля. Докажите теорему  Лиувилля  для квадратичной  иррациональности. Опишите основные идеи общего доказательства теоремы  Лиувилля. Приведите пример трансцендентного числа  Лиувилля.

10.4  Методические материалы,  определяющие  процедуры  оценивания

знаний,  умений,  навыков  и  (или)  опыта  деятельности

характеризующих  этапы  формирования  компетенций

Зачёт по дисциплине проверяет умение решать стандартные задачи.

Экзамен по дисциплине состоит из контроля теоретической части и умения решать стандартные задачи.  В каждом билете – один вопрос и одна задача по теме билета.

ПРИМЕРНЫЙ  ПЕРЕЧЕНЬ  ПРАКТИЧЕСКИХ  ЗАДАНИЙ

Укажите частное и остаток от деления  ±520  на  ±23. Двумя способами найдите  НОК[ 134, 126 ]  и  НОД( 134, 126 ), вычислите линейное разложение  НОД( 134, 126 ). Докажите, что если  x2 + y2 = z2 ,  то  x⋅y M  12. При каких  n ∈ N  22⋅n+1 – 5  M  3 ? При каких  n ∈ N  n3 – 5⋅n + 2 M 7 ? Разложите в конечную цепную дробь и найдите все её подходящие дроби. Найдите каноническое разложение числа  n = 1496. Найдите число и сумму натуральных делителей числа  1358. Найдите число и сумму целых делителей числа  1358. Докажите, что сумма трёх последовательных натуральных степеней числа  2 делится  на  14. С помощью конечных цепных дробей найдите линейное разложение  НОД(1340, 1260). Разложите  в бесконечную цепную дробь. Найдите первые три цифры разложения в бесконечную цепную дробь числа  2⋅р.

ПРИМЕРНЫЙ  ПЕРЕЧЕНЬ  ВОПРОСОВ  К  ЗАЧЁТУ

Теорема о делении целых чисел с остатком. Основные свойства делимости целых чисел нацело. НОД  и  НОК  целых чисел:  определение, свойства, способы нахождения, примеры. Алгоритм Евклида и линейное разложение  НОД(a, b). Взаимно простые числа и их свойства. Примеры. Простые числа и их свойства. Основная теорема арифметики. Вычисление  НОД(a, b)  и  НОК[a, b] с помощью канонических разложений чисел  a, b.  Примеры. Функция  Эйлера: определение, вычисление  φ(pα),  примеры. Функция  Эйлера: мультипликативность, примеры. Бесконечность множества простых чисел. Решето Эратосфена. Представление рациональных чисел конечными цепными дробями. Подходящие дроби и их основные свойства. Представление иррациональных чисел бесконечными цепными дробями. Примеры. Квадратичные иррациональности и периодические бесконечные цепные дроби.  Примеры. Сравнения и их свойства. Проверка арифметических действий с помощью сравнений.  Примеры. Кольцо вычетов  Zm, группа  Zm* , поле  Zp. Общий признак делимости Паскаля. Признаки делимости на  2n, 5n, 3,  9, 11. Теоремы  Эйлера  и  Ферма. Примеры использования для вычисления остатков. Полиномиальные сравнения и их решения. Редукция сравнения по составному модулю к модулю, являющемуся степенью простого числа, а затем – к простому модулю. Теорема о сравнениях первой степени. Различные методы решения сравнений первой степени. Примеры. Показатели и их свойства. Первообразные корни. Нахождение первообразных корней. Примеры. Существование первообразных корней по простому модулю.  Примеры. Представление рациональных чисел десятичными дробями. Длина периода десятичного представления рационального числа. Примеры. Индексы и их свойства. Таблицы индексов и антииндексов.  Решение двучленных сравнений  a⋅xn ≡  b (mod m)  с помощью индексов.  Примеры. Числа алгебраические и трансцендентные.  Теорема  Лиувилля и построение трансцендентных чисел.  Примеры.

ПРИМЕРНЫЙ  ПЕРЕЧЕНЬ  ЗАДАНИЙ  ДЛЯ  ЗАЧЁТА

Укажите частное и остаток от деления  ±520  на  ±23. Двумя способами найдите  НОК[ 134, 126 ]  и  НОД( 134, 126 ), вычислить линейное разложение  НОД( 134, 126 ). Разложите в конечную цепную дробь и найдите все её подходящие дроби. Разложите  в бесконечную цепную дробь. Докажите, что сумма трех последовательных натуральных степеней числа  2 делится  на  14. Какая из трёх совокупностей чисел  19,  –3,  5,  13;  –3, –5, –9, 17;  3, 5, 6, 7  будет приведенной системой вычетов по модулю  8  и почему? Найдите остаток от деления числа  (8480 + 2340)15  на  25. Найдите число  а  =  3х⋅5y⋅7z,  если  (a) = 3600. Тремя способами решите сравнение  15⋅х  21 (mod 18). Найдите остаток от деления  a100  на  125,  где  а ∈ Z. Найдите все классы первообразных корней по модулю  5. Решите двучленное сравнение  9⋅ х5 ≡ 14 (mod 41). Найдите длины периода и предпериода десятичного представления  . Проверьте правильность выполнения умножения  3125⋅256  =  800000  с помощью сравнений по модулям  9  и  11. Выведите признак делимости на  7. Найдите многочлен степени не выше 4, корнем которого является  .

ПРИМЕРНЫЕ  ВОПРОСЫ  К  ЭКЗАМЕНУ

ПО  ТЕОРИИ  ЧИСЕЛ

Теорема о делении целых чисел с остатком. Основные свойства делимости целых чисел нацело. НОД  и  НОК  целых чисел:  определение, свойства, способы нахождения, примеры. Алгоритм Евклида и линейное разложение  НОД(a, b). Взаимно простые числа и их свойства. Примеры. Простые числа и их свойства. Основная теорема арифметики. Вычисление  НОД(a, b)  и  НОК[a, b] с помощью канонических разложений чисел  a, b.  Примеры. Функция  Эйлера: определение, вычисление  φ(pα),  примеры. Функция  Эйлера: мультипликативность, примеры. Бесконечность множества простых чисел. Решето Эратосфена. Представление рациональных чисел конечными цепными дробями. Подходящие дроби и их основные свойства. Представление иррациональных чисел бесконечными цепными дробями. Примеры. Квадратичные иррациональности и периодические бесконечные цепные дроби.  Примеры. Сравнения и их свойства. Проверка арифметических действий с помощью сравнений.  Примеры. Кольцо вычетов  Zm, группа  Zm* , поле  Zp. Общий признак делимости Паскаля. Признаки делимости на  2n, 5n, 3,  9, 11. Теоремы  Эйлера  и  Ферма. Примеры использования для вычисления остатков. Полиномиальные сравнения и их решения. Редукция сравнения по составному модулю к модулю, являющемуся степенью простого числа, а затем – к простому модулю. Теорема о сравнениях первой степени. Различные методы решения сравнений первой степени. Примеры. Показатели и их свойства. Первообразные корни. Нахождение первообразных корней. Примеры. Существование первообразных корней по простому модулю.  Примеры. Представление рациональных чисел десятичными дробями. Длина периода десятичного представления рационального числа. Примеры. Индексы и их свойства. Таблицы индексов и антииндексов.  Решение двучленных сравнений  a⋅xn ≡  b (mod m)  с помощью индексов.  Примеры. Числа алгебраические и трансцендентные.  Теорема  Лиувилля и построение трансцендентных чисел.  Примеры.

ТРЕБОВАНИЯ  К  ОТВЕТУ

Для получения оценки  “удовлетворительно”  необходимо знать основные определения и формулировки теорем (по всему курсу),  уметь приводить примеры и решать стандартные задачи.

Для получения оценки  “хорошо”  нужно,  в дополнение к вышеизложенному,  уметь доказывать основные результаты билета.

Для получения оценки “отлично”  нужно, кроме прочего, доказать все теоретические результаты билета.

11.  Образовательные  технологии

Используются:

а)  аудиторная  работа: