Теория чисел (стр. 5 )

Таблица  7.

Карта критериев оценивания компетенций

Код компетенции	Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП	Виды занятий	Оценочные средства
минимальный (удовл.) 61-75  баллов	базовый (хорошо) 76-90  баллов	повышенный (отлично) 91-100  баллов
ОПК-1:  готовностью использовать фундаментальные знания в области математического анализа, комплексного и функционального анализа, алгебры, аналитической геометрии, дифференциальной геометрии и топологии, дифференциальных уравнений, дискретной математики и математической логики, теории вероятностей, математической статистики и случайных процессов, численных методов, теоретической механики в будущей профессиональной деятельности	Знает: основные понятия, классические факты,  утверждения и приёмы, имеет представление о результате решения задачи	Знает: что такое результат решения задачи,  основные методы решения типовых задач курса	Знает: что такое результат задачи, методы доказательства теорем, методы решения задач с использованием изученных понятий в нестандартном виде	лекции,  практические  занятия	самостоятельные  работы,  контрольные  работы, домашние  задания
Умеет: приводить примеры и контпримеры,  сформулировать результат по образцу.	Умеет: решать типовые задачи, находить способ конструирования объектов, иллюстрирующих данное понятие или свойство,  сформулировать результат задачи самостоятельно	Умеет: сформулировать результат задачи самостоятельно,  решать нестандартные задачи
Владеет: приёмами решения задач, иллюстрирующих теорию,  навыком выделения результата задачи по образцу	Владеет: общими и специальными приемами решения основных задач курса, основанными на соответствующих методах,  навыком выделения результата задачи самостоятельно	Владеет: навыком выделения результата задачи самостоятельно, имеет представление о значении дисциплины в математике, анализирует решение математических задач, выделяет методы рассуждения

Код компетенции	Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП	Виды занятий	Оценочные средства
минимальный (удовл.) 61-75  баллов	базовый (хорошо) 76-90  баллов	повышенный (отлично) 91-100  баллов
ПК-9:  способность к организации учебной деятельности в конкретной предметной области  (математика, физика, информатика)	Знает:  необходимый материал по математике и методике для организации учебной деятельности	Знает:  стандартный материал по математике и методике для  организации учебной деятельности,  критерии оценки, основы информационных технологий	Знает:  широко и глубоко материал по математике и методике для  организации учебной деятельности,  критерии оценки обучающихся, методы и формы применения информационных технологий в учебном процессе	лекции,  практические  занятия	самостоятельные  работы,  контрольные  работы,  домашние  задания
Умеет:  изложить фактический материал по математике, приводить примеры и контрпримеры, использовать методические приёмы	Умеет:  изложить материал по математике доказательно, используя методические приёмы и методы информационных технологий	Умеет:  изложить материал по математике доказательно, используя методические приёмы и методы информационных технологий,  отвечать на вопросы
Владеет:  математическим необходимым материалом и методическими приёмами его подачи	Владеет: общими и специальными приёмами решения основных задач курса, методами доказательства, методическими приёмами и  методами использования информационных технологий	Владеет:  общими и специальными приёмами решения нестандартных задач методами доказательств,  методические приёмами и методами информационных технологий

10.3  Типовые  контрольные  задания  или  иные  материалы,

необходимые  для  оценки  знаний,  умений,  навыков  и  (или)  опыта

деятельности,  характеризующей  этапы  формирования  компетенций  в

процессе  освоения  образовательной  программы

Вопросы,  выносимые  на  самостоятельное  изучение

Функция  π(x)  и неравенство  Чебышева. Представление квадратичных иррациональностей периодическими цепными дробями. Представление натуральных чисел в виде суммы двух квадратов. Приближения действительных чисел подходящими дробями. Системы сравнений. Квадратичные вычеты и невычеты. Символ  Лежандра  и закон взаимности  Гаусса. Теорема  Лиувилля  о приближениях алгебраического числа рациональными числами и её применение к построению трансцендентных чисел и доказательству иррациональности некоторых чисел.

ПРИМЕРНЫЙ  ПЕРЕЧЕНЬ  КОНТРОЛЬНЫХ  ВОПРОСОВ  ДЛЯ

САМОСТОЯТЕЛЬНОГО  ИЗУЧЕНИЯ

МОДУЛЬ  I.  Теория  делимости в кольце целых чисел

Тема:  Функция  π(x)  и неравенство  Чебышева.

Что такое простое число? Каково определение функции  π(x)  ? Вычислите  π(0, 5),  π(2, 999),  π(17). Сформулируйте неравенства  Чебышева. Сформулируйте асимптотический закон распределения простых чисел. Сформулируйте постулат  Бертрана.

Тема:  Представление квадратичных иррациональностей

периодическими цепными дробями.

Что такое бесконечная цепная дробь? Приведите примеры бесконечных цепных дробей. Что такое квадратичная иррациональность  ? Приведите примеры квадратичных иррациональностей. Что такое (смешанно) периодическая бесконечная цепная дробь? Приведите примеры (смешанно) периодических бесконечных цепных дробей. Сформулируйте теорему  Лагранжа. Изложите основные идеи доказательства теоремы  Лагранжа. Разложите в бесконечные цепные дроби иррациональности  . Сформулируйте теорему о чисто периодических бесконечных цепных дробях. Сформулируйте теорему о разложении в периодические бесконечные цепные дроби квадратных корней из натуральных неквадратных чисел. Разложите в бесконечные цепные дроби  .

Тема:  Представление натуральных чисел в виде суммы двух квадратов.

Что такое задача о представлении натуральных чисел в виде суммы двух квадратов? Представьте (если возможно)  в виде сумм двух квадратов числа  3, 4, 5, 7, 11, 13, 27. Сформулируйте основной результат о представлении простого числа в виде суммы двух квадратов. Докажите, что простое число вида  p = 4⋅n+3  не представимо в виде суммы двух квадратов. Изложите основные идеи доказательства представимости простого числа вида  p = 4⋅n+1  в виде суммы двух квадратов. Сформулируйте общий результат о представлении натурального числа в виде суммы двух квадратов. Докажите, что если два числа представимы в виде суммы двух квадратов, то и их произведение тоже представимо в этом виде. Какова связь задачи о представлении натуральных чисел в виде суммы двух квадратов с теорией разложения квадратичных иррациональностей в цепные дроби? Найдите, основываясь на  теории разложения квадратичных иррациональностей в цепные дроби, представление в виде суммы двух квадратов простых чисел  p = 73,  97, 101.

Тема:  Приближения действительных чисел подходящими дробями.

Что такое подходящие дроби? Приведите примеры подходящих дробей. Сформулируйте основные свойства подходящих дробей. Докажите несколько нетривиальных свойств подходящих дробей. Обоснуйте сходимость подходящих дробей. Найдите приближение числа  e  подходящими дробями с точностью до  0,001. Сформулируйте и докажите результат о том, что рациональная дробь, достаточно хорошо аппроксимирующая действительное число, совпадает с одной из подходящих дробей.

МОДУЛЬ  II.  Теория  сравнений

Тема:  Системы сравнений.

Что такое полиномиальное сравнение? Что такое система полиномиальных сравнений? Что значит решить систему полиномиальных сравнений? Сформулируйте теорему о структуре решений системы сравнений первой степени. Приведите примеры совместной и несовместной систем сравнений первой степени. Докажите что любая система сравнений первой степени эквивалентна системе сравнений с попарно взаимно простыми модулями. Решите системы:

Тема:  Квадратичные вычеты и невычеты.

Что такое квадратичное сравнение? Что такое квадратичный вычет и невычет? Приведите примеры квадратичных вычетов и невычетов по различным модулям. Докажите, что по любому простому модулю количество квадратичных вычетов равно количеству квадратичных невычетов. Докажите, что решение произвольного квадратичного сравнения  a⋅x2+b⋅x+c ≡ 0  (mod  m)  сводится к решению двучленного сравнения вида  x2 ≡  A  (mod  M). Опишите алгоритм решения сравнения вида  x2 ≡  A (mod  M)  по любому модулю  M. Решите квадратичные сравнения:

3⋅x2 + 2⋅x – 5 ≡ 0  (mod 5),  8⋅x2 – x + 1 ≡ 0  (mod  12).