17) Интегральные суммы. Суммы Дарбу. Теорема об условии существования определённого интеграла.
Теорема существования определённого интеграла. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема по этому отрезку.
Примем это утверждение без доказательства, поясним только его смысл. Интегрируемость функции означает существование конечного предела последовательности интегральных сумм, т. е. такого числа 
, что для любого 
найдётся такое число 
, что как только разбиение отрезка удовлетворяет неравенству 
, то, независимо от выбора точек 
выполняется неравенство
. Требование непрерывности f(x) достаточно для интегрируемости, но не является необходимым. Интегрируемы функции, имеющие конечное или даже счётное число точек разрыва на [a, b] при условии их ограниченности (т. е. все точки разрыва должны быть точками разрыва первого рода). Неограниченная функция не может быть интегрируемой (идея доказательства этого утверждения: если f(x) неограничена на [a, b], то она неограничена на каком-либо [xi-1 , xi], т. е. на этом отрезке можно найти такую точку 
, что слагаемое 
, а следовательно, и вся интегральная сумма, будет больше любого наперед заданного числа).
Суммы Дарбу и их свойства
Введение в рассмотрение сумм Дарбу позволяет существенно упростить проверку интегрируемости функции. Пусть задано произвольное разбиение 
отрезка 
и
Верхняя сумма Дарбу есть
Нижняя сумма Дарбу есть
На рис. 9.3.1 заштрихована светлой штриховкой фигура, площадь которой численно равна 
Свойства сумм Дарбу
1. Справедливы следующие соотношения:
Рис. 9.3.1
2. Если все точки разбиения 
отрезка 
входят в число точек разбиения 
того же отрезка 
, то говорят, что разбиение 
является измельчением разбиения 
, и пишут: 
Если
, то 
Таким образом, при добавлении к разбиению 
дополнительных точек разбиения верхняя сумма Дарбу может только лишь уменьшиться, а нижняя сумма Дарбу -- только лишь увеличиться.
Из рис. 9.3.2 видно, что при добавлении точки 
в число точек разбиения 
верхняя сумма Дарбу уменьшится на величину площади незаштрихованного прямоугольника.
Рис. 9.3.2
3. Для любых разбиений 
и 
отрезка 
Таким образом, множества чисел 
и 
при любых 
и 
расположены так, как показано на рис. 9.4.1: 
18) Классы интегрируемых функций. Свойства определённого интеграла. Теорема о среднем значении.
З класса функции:
1. Функции непрерывные на отрезке [a, b].
2. Функции имеющие не более конечного числа разрывов 1-го рода на отрезке [a, b]. (их называют кусочно-непрерывными)
3. Функции монотонные на отрезке [a, b] (у функции этого класса число разрывов может быть бесконечным).
Свойства определенного интеграла
1. 
f(х)dх=0 2. 
dх=b – a; f(x)≡1 
3. 
f(х)dх= - 
f(х)dх 4. f(x)∈R [a, b]; 
C f(х)dх=C 
f(х)dх=
=
5. f(x), g(x) ∈ R [a, b], то f(x)+g(x) ∈ R [a, b]; 
(f(х)+g(x))dх=
f(х)dх+
g(х)dх
6. (аддитивность опред. ин-ла)
∀ a, b, c 
f(х)dх=
f(х)dх+
f(х)dх
7. Если f(x∀х∈[a, b], то 
f(х)dх≥0, a>b 
f(х)dх=
8. Монотонность опред. инт.: Если f(x), g(x)∈R [a, b], f(x)≤g(x) ∀x∈[a, b], то 
f(х)dх<
g(х)dх, a<b
Док-во: g(x) – f(x)≥0 ∀x∈[a, b], 0≤
(g(x) – f(x))dx=
g(х)dх - 
f(х)dх
9. Если f(x)∈R [a, b], то |f(x)|∈R [a, b]
|
f(х)dх |≤
|f(х)|dх
10. (Оценки опред. инт.): Если m и M – наимен. и наибол. зн. f(x) на [a, b], то m(b-a)≤ 
f(х)dх≤M(b-a)
m≤f(x)≤M; ∀x∈[a, b]
m
dх ≤
f(х)dх≤M
dх
m(b-a)≤
f(х)dх≤M(b-a), a<b
11. Теорема о среднем: Если f(x) непр. на [a, b], то ∃ т. ξ∈[a, b], что выполн. рав-во 
f(х)dх=f(ξ)(b-a)
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 |
