Если , то используется обозначение и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае называется сходящимся. Если не существует конечного ( или ), то интеграл называется расходящимся к , или просто расходящимся.

Пусть f(x) определена и непрерывна на множестве от и . Тогда:

Если , то используется обозначение и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае называется сходящимся. Если не существует конечного ( или ), то интеграл называется расходящимся к , или просто расходящимся.

Если функция f(x) определена и непрерывна на всей числовой прямой, то может существовать несобственный интеграл данной функции с двумя бесконечными пределами интегрирования, определяющийся формулой:

, где с — произвольное число.

Теоремы сравнения

Пусть f (x) и g (x) является непрерывными функциями в интервале [a, ∞). Предположим, что для всех x в интервале [a, ∞).

Если сходится, то также сходится;
Если расходится, то также расходится;
Если сходится, то также сходится. В этом случае говорят, что интеграл является абсолютно сходящимся.

Критерий Коши

1. Пусть f(x) определена на множестве от и .

Тогда сходится

2. Пусть f(x) определена на (a, b] и .

Тогда сходится

26) Формулировка

Пусть дана непрерывная функция на отрезке Пусть также и без ограничения общности предположим, что f(a) = A < B = f(b). Тогда для любого существует такое, что f(c) = C.

Доказательство [скрыть]

Рассмотрим функцию Она непрерывна на отрезке и , Покажем, что существует такая точка , что Разделим отрезок точкой на два равных по длине отрезка, тогда либо и нужная точка найдена, либо и тогда на концах одного из полученных промежутков функция принимает значения разных знаков(на левом конце меньше нуля, на правом больше).

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Обозначив полученный отрезок , разделим его снова на два равных по длине отрезка и т. д. Тогда, либо через конечное число шагов придем к искомой точке , либо получим последовательность вложенных отрезков по длине стремящихся к нулю и таких, что

Пусть - общая точка всех отрезков , Тогда и в силу непрерывности функции

Поскольку

получим, что


Абсолютная сходимость Если сходится, то также сходится. В этом случае говорят, что интеграл является абсолютно сходящимся. Признак Абеля Признак Абеля сходимости несобственных интегралов

Признак Абеля дает достаточные условия сходимости несобственного интеграла.

Признак Абеля для бесконечного промежутка. Пусть функции и определены на промежутке . Тогда несобственный интеграл сходится если выполнены следующие условия:

Функция интегрируема на . Функция ограничена (по модулю) и монотонна.

Признак Абеля для несобственного интеграла второго рода. Пусть функции и определены на промежутке . Тогда несобственный интеграл сходится если выполнены следующие условия:

Функция непрерывна на и сходится интеграл Функция ограничена (по модулю), непрерывно дифференцируема и монотонна на .

Дирихле

Признак Дирихле сходимости несобственных интегралов первого рода

Пусть выполнены условия:

    и имеет на ограниченную первообразную F(x), то есть ; функция ; .

Тогда сходится.
    Очевидно, что вместо второго условия можно также записать . Условие монотонности в признаке Дирихле существенно.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7