1)Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (а;b) если выполняются следующие условия:
1. F(x) принадлежит D(a;b)
2.F’(x) = f(x)
Основные правила интегрирования:
1.d∫f(x)dx = f(x)dx
2.∫Af(x)dx = A∫f(x)dx, где А – постоянная величина.
3.∫[f(x) +- g(x)]dx = ∫f(x)dx +- ∫g(x)dx.
4.∫f(ax + b)dx = (1/a)F(ax + b) + C.
2)Замена переменной:
x = ц(t)
∫f(x)dx = ∫f(ц(t)) * ц’(t)dt
Формула интегрирования по частям для неопределенного интеграла:
∫UdV = UV - ∫VdU
U = ц(x)
V = ш(x)
3)
4)
5)I)1/(ax +b); II)1/(ax + b)m; III)(Mx + N)/(ax2 + bx + c); IV)(Mx + N)/( ax2 + bx + c)m.
Дроби типа I и II интегрируются с помощью замены:
∫1/(ax + b) = {t = ax + b; dt = adx; dx = dt/a.} = 1/a∫dt/t = (1/a)ln|ax + b| + C
Рассмотрим III:
∫(Mx + N)/(x2 + bx + c)
x2 + bx + c = (x + b/2)2 + C – b2/4 =>
∫(M(x + b/2) + (N - Mb/2))/ (x + b/2)2 + C – b2/4 = M∫(x + b/2)dx/(x + b/2)2 + C – b2/4 + (N - Mb/2)∫dx/(x + b/2)2 + C – b2/4 = {(x + b/2)2 = t, (x + b/2) = z,2*(x + b/2)dx = dt, dx = dz} = M/2∫dt/(t + a2) + (N - Mb/2)∫dz/(z2 + a2) = {a = c – b2/4, t + a2 = u, dt = du} = M/2∫du/u +(N - Mb/2)∫dt/(z2 + a2) = (M/2)ln|u| + 1/a(N - Mb/2)arctg(z/a) + C = (M/2)ln| x2 + bx + c | + 1/a(N - Mb/2)arctg((2x +b)/2a) + C
6)f(x) = a0 + a1x + a2x2 + … +anxn
Целая рациональная функция
f(x) = A/(x - a)2
f(x) = (Ax + n)/(x2 + px + q)n
Алгоритм метода неопределенных коэффициентов:
f(x) = P(x)/Q(x)
1.Выделить целую часть: f(x) = P0(x) + P1(x)/Q1(x)
2.Q1(x) – разложить на множители
(x - a)n v (x2 + px + q)m p2 – 4q < 0
3.Каждому множителю (x - a)n поставить в соответствие элементарные дроби:
A1/(x - a), A2/(x - a)2, …, An/(x - a)n
множители (x2 + px + q)m поставить в соответствие дробь:
(B1x + C1)/( x2 + px + q), (B2x + C2)/( x2 + px + q)2, …, (Bmx + Cm)/( x2 + px + q)m
4.Прировнять P1(x)/Q1(x) к сумме всех элементарных дробей. Правая часть к общему знаменателю Q1(x), а числитель прировнять к P1(x)
5.Найти неопределенные коэффициенты Ai, Bi, Ci
7)∫R[x, ((ax + b)/(cx + d))m1/n1 , …, ((ax + b)/(cx + d))mp/np
R – иррациональная функция
mi, ni принадлежат N
a, b, c, d принадлежат lR
(ax + b)/(cx + d) – tk
k = HOK{ ni } i = 1,p
8)Подстановка Эйлера:
1.а > 0
t = (ax2 + bx + c) Ѕ + x*a1/2
x = (t2 – c)/2t*(a + b)1/2
2.a < 0, c > 0
(ax2 + bx + c) Ѕ = xt + c1/2
9)
10)∫xm(a + bxn)pdx, где m, n, p – рациональные числа.
Условия Чебышева. Интеграл выражается через конечную комбинацию элементарных функций лишь в следующих трех случаях:
1.если р – целое число;
2.если (m +1)/n – целое число. Здесь применяется подстановка а + bхn = zs, где s – знаменатель дроби p;
3.если (m + 1)/n + p – целое число. В этом случае используется подстановка ах-n + b = zs
11)Тригонометрические подстановки:
1.Если ∫ содержит (a2 – b2)1/2, x = asint, (a2 – x2)1/2 = a*cost;
2.Если ∫ содержит (x2 – a2)1/2, x = asect, (x2 – a2)1/2 = a*tgt;
3.Если ∫ содержит (x2 + a2)1/2, x = a*tgt, (x2 + a2)1/2 = a*sect
12)Функция R нечетная относительно cos.
R(sinx, - cosx) = - R(sinx, cosx)
t = sinx
∫(cos7x/sin4x)dx = ∫cos6x*dsinx/sin4x = ∫(1 – sin2x)3*dsinx/sin4x = {sinx = t} = ∫(1 – t2)3*dt/t4 = (1 – 3t2 + 3t4 – t6)*dt/t4 = ∫dt/t4 - 3∫dt/t2 + 3∫dt - ∫t2dt = - 1/3t3 + 3/t + 3t – t3/3 = - 1/sin3x + 3/sinx + 3sinx – sin3x/3 + C
Функция R четная относительно sin и cos одновременно:
R(- sinx, - cosx) = R(sinx, cosx)
t = tgx
R(sinx, cosx) = R1(sinx, cosx)/cos2x
dx/cos2x = dtgx; 1 + tg2x = 1/cos2x; 1 + 1/tg2x = 1/sin2x.
∫dx/sin2x + 6sinxcosx – 16cos2x = ∫dx/cos2x(tg2x + 6tgx - 16) = ∫dtgx/tg2x + 6tgx – 16= {tgx = t} = ∫dt/t2 + 6t -16 = ∫dt/(t + 8)(t - 2) = 1/10∫dt/t – 2 – 1/10∫dt/t + 8 = (1/10)ln |(t – 2)/(t + 8)| = (1/10)ln|(tgx - 2)/(tgx + 8)| + C
13) Интегрирование выражений sinn x cosm x и sin nx cos mx.
Z, m, n >= 0; Одно из чисел m, n – нечетное, тогда sinx=t, cosx=t; Оба нечетные или четные - 
m, n 
Q 
это дифференц. Бином
Здесь и везде ниже предполагается, что m и n - натуральные числа. Для вычисления таких интегралов используются следующие подстановки и преобразования:
. Если степень синуса m - нечетная, то используется подстановка 
. Если степени m и n - четные, то сначала применяются формулы двойного угла 
чтобы понизить синуса или косинуса в подынтегральном выражении. Затем, если необходимо, применяются правила a) или b).
14) Интегралы вида tgm x и ctgm x
Интегралы вида 
Степень подынтегрального выражения в данном интеграле можно понизить с помошью тригонометрического соотношения 
и формулы редукции
4. Интегралы вида 
Здесь степень подынтегрального выражения понижается с помощью соотношения 
и формулы редукции
15) Интегрирование выражений R(x, sqrt(x2+a2)), R(x, sqrt(a2+x2)), R(x, sqrt(x2-a2)) с помощью тригонометрических подстановок.
Каждый из этих трех интегралов вычисляется с помощью специальных тригонометрических или гиперболических подстановок.
1. Интегралы вида 
Тригонометрическая подстановка:
2. Интегралы вида 
Тригонометрическая подстановка:
Гиперболическая подстановка:
3. Интегралы вида 
Тригонометрическая подстановка:
Гиперболическая подстановка:
Примечания:
- Вместо тригонометрических подстановок в случаях 1, 2, 3 можно использовать, соответственно, подстановки x = r cos t, x = r ctg t, x = r cosec t. В приведенных выше формулах рассматриваются только положительные значения квадратного корня. Например, в строгой записи
Мы полагаем, что 
.
16) Определенный интеграл. Задача о вычислении полощади криволинейной трапеции.
Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Определенный интеграл от функции f (x) в пределах от a до b вводится как предел суммы бесконечно большого числа слагаемых, каждое из которых стремится к нулю:
где
Площадь криволинейной трапеции
Площадь фигуры, ограниченной осью 0x, двумя вертикальными прямыми x = a, x = b и графиком функции f (x) (рисунок 1), определяется по формуле
|
|
Рис.1 | Рис.2 |
Пусть F (x) и G (x) - первообразные функций f (x) и g (x), соответственно. Если f (x) ≥ g (x) на замкнутом интервале [a, b], то площадь области, ограниченной двумя кривыми y = f (x), y = g (x) и вертикальными линиями x = a, x = b (рисунок 2), определяется формулой
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 |
