Док-во: f(x) непр. на [a, b], m – min зн. f(x) на [a, b], M – max; ∀x∈[a, b]  m≤f(x)≤M;  иссл. оценку ин-ла:

m(b-a)≤f(х)dх≤M(b-a), b-a>0

: (b-a)  m≤(f(х)dх) / (b-a))≤M;  λ::=f(х)dх) / (b-a)

найдется такая ξ, что f(ξ)=λ,ξ∈[a, b] => f(х)dх=f(ξ)(b-a)  ч. т.д.

19) Определенный интеграл как функция верхнего предела. Формула Ньютона-Лейбница.

Интеграл вида f(t)dt=Ф(x), x[a, b] – интеграл с перем. верхним пределом.

Теорема 1: пусть f(x) непрерыв. на [a, b], тогда Ф(х)=f(t)dt тоже непрерыв. на [a, b]

Док-во: х[a, b] возьмем (х+х) [a, b]. Рассмотрим Ф(х)=Ф(х+х)-Ф(х)= f(t)dt-f(t)dt=f(t)dt+f(t)dt-f(t)dt=f(t)dt=f()х, где [х, х+х].

Ф(х)=f()х.

х0 => Ф(х)0, что означает непрерывность Ф(х) в точке х.

т. к. х – любое, то Ф(х) непрерыв. на [a, b].  ч. т.д.

Теорема 2 (т. Барроу):пусть f(x) непрер. на [a, b], тогда Ф(х)=f(t)dt явл. первообразной для f(x) на [a, b], т. е. (f(t)dt)′=f(x)

Производная от интеграла с перем. верхним пределом равна подинтегр. ф-ции от перем. предела.

Док-во: Ф(х)=f()х, где [х, х+х]

(f(t)dt)′=Ф′ (x)=limх0 Ф(х)/ х= limх0 f()х/х= limх0 f() (тогда х) =f(x)  ч. т.д

f(х)dх=f(t)dt+С

Пусть F(x) – некот. первообразная для f(x)

Ф(х)=F(х)+С0

f(t)dt=0

0=Ф(a)=F(а)+С0 => С0 = - F(а) => Ф(х)=F(х)-F(а)

Ф(b)=F(b)-F(а)

f(х)dх=F(b)-F(а) – ф-ла Ньютона-Лейбница

Вывод: если f(х) непрер. на [a, b], то для любой ее первообразной F(х) на [a, b] имеет место ф-ла Н.-Л.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Если функция f ( x ) интегрируема на [ a ; b ], то для любого существует интеграл
который называется интегралом с переменным верхним пределом.

Если функция f интегрируема на [ a ; b ], то функция F ( x ) непрерывна на этом отрезке.

Если функция f интегрируема на [ a ; b ] и непрерывна в то функция F ( x ) дифференцируема в причем

Если функция f непрерывна на [ a ; b ], то на этом отрезке она имеет первообразную F вида
где C – постоянная. Всякая первообразная функции f на отрезке [ a ; b ] удовлетворяет этой формуле.

Одним из основных результатов математического анализа является теорема Ньютона – Лейбница :

Пусть функция f ( x ) непрерывна на [ a ; b ], а F ( x ) – какая-либо первообразная функции f на этом отрезке. Тогда

Таким образом, для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную F функции f, вычислить ее значения в точках a и b и найти разность F ( b ) – F ( a ).

Пусть f ( x ) непрерывна на [ a ; b ], g ( t ) имеет непрерывную производную на [б; в], Тогда если a = g (б), b = g (в), то справедлива формула замены переменной в определенном интеграле :

Если функции u ( x ) и v ( x ) имеют на [ a ; b ] непрерывные производные, то справедлива формула интегрирования по частям:

20) Замена переменной:

  x = ц(t)

  ∫abf(x)dx = ∫abf(ц(t)) * ц’(t)dt

  Формула интегрирования по частям для неопределенного интеграла:

  ∫abUdV = UV|ab - ∫abVdU

  U = ц(x)

  V = ш(x)

21)Объем тел, образованных вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью ОХ и двумя вертикалями x = a и x = b, вокруг осей ОY и OX, выражаются соответственно формулами:

1.Vx = р∫ab y2dx

2.Vy = 2р∫ab xydx

22)Длина s дуги гладкой кривой y = f(x), содержащейся между двумя точками с абсциссами x = a и x = b, равна

s = ∫ab (1 + y’2)1/2dx

23)Если непрерывная кривая задана в прямоугольных координатах уравнением y = f(x) [f(x)>=0], то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, двумя вертикалями в точках x = a и x = b и отрезком оси абсцисс a <= x <= b, определяется формулой: S = ∫ab f(x)dx

24)Интегралы I рода – это несобственные интегралы с бесконечным пределом.

Формула Ньютона – Лейбница

∫ab f(x)dx = F(x)|ab = F(b) – F(a)

25) Несобственные интегралы I рода

Пусть f(x) определена и непрерывна на множестве от и . Тогда:

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7