1)Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (а;b) если выполняются следующие условия (стр. 6 )

(2)

Для случая, когда область D разбита на две неперекрывающиеся области D1 и D2, справедливо следующее равенство:

(3)

Двойные интегралы в задаче 1 берутся по неперекрывающимся областям D1 и D2 . Поэтому, обозначив через объединение областей D1 и D2, из (3) получим, что заданная сумма двойных интегралов от функции (по областям D1 и D2)записанных в виде повторных интегралов, равна двойному интегралу функции по области D, т. е. выражению

(4)

Этот двойной интеграл нужно записать в виде повторного, используя формулу (1), если повторные интегралы в левой части полученного равенства были записаны по формуле (2). Если же эти повторные интегралы записаны по формуле (1), то двойной интеграл (4) нужно записать в виде повторного, используя формулу (2).

33)Замена переменной в двойном интеграле.

Замена переменной в интеграле состоит в переходе переменных x и y к новым переменным u и v, связанных со старыми соотношениями

Если выполняются условия:

1°. Отображение (6) взаимно однозначно.

2°. Функция в (6) непрерывно - дифференцируемы в области D.

3°. Якобиан отображения (6)

то имеет место формула

Обычно замена переменных производится с целью упрощения области интегрирования. Соотношения (6) называют переходом от прямоугольных декартовых координат к криволинейным.

Примером криволинейных координат являются полярные координаты связанные с прямоугольными (x, y) формулами

Якобиан преобразования (8) равен

Если то

Используются также обобщение полярные координаты. В качестве примера вычислим объём тела заданного в примере 3 (второй способ).

Решение. Введём обобщение полярные координаты Тогда

Одним из частных случаев замены переменных является переход из декартовой в полярную систему координат (рисунок 1).

Рис.1	Рис.2

Якобиан такого преобразования имеет вид

Следовательно, дифференциальный элемент в полярных координатах будет равен

Пусть область интегрирования R в полярных координатах определяется следующим образом (рисунок 2):

Тогда двойной интеграл в полярных координатах описывается формулой

Будем называть полярным прямоугольником область интегрирования, показанную на рисунке 3 и удовлетворяющую условиям

В этом случае формула замены переменных в двойном интеграле имеет вид

Будьте внимательны, чтобы не пропустить сомножитель (якобиан) r в правой части этой формулы!

Рис.3	Рис.4

Пример 1

Вычислить двойной интеграл , преобразовав его в полярные координаты. Область интегрирования R представляет собой сектор круга радиусом .

Решение.

Область R в полярных координатах описывается множеством (рисунок 4). Применяя формулу

получаем

34)

35) Масса неоднородного тела. Тройной интеграл

Рассмотрим тело, занимающее пространственную область (рис. 1), и предположим, что плотность распределения массы в этом теле является непрерывной функцией координат точек тела:

Единица измерения плотности - кг/м3.

Рис. 1.

Разобьем тело произволь­ным образом на n частей; объемы этих частей обозначим Выберем затем в каждой части по про­извольной точке Полагая, что в, каждой час­тичной области плотность по­стоянна и равна ее значению в точке , мы получим при­ближенное выражение для массы всего тела в виде суммы

(*)

Предел этой суммы при ус­ловии, что и каждое частичное тело стягивается в точку (т. е. что его диаметр ) стремится к нулю), и даст массу М тела

Сумма (*) называется n-й интегральной суммой, а ее предел - тройным интегралом от функции по пространственной области .

К вычислению тройного интеграла, помимо определения массы тела, приводят и другие задачи. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать тройной интеграл

где - произвольная непрерывная в области функция.

Терминология для тройных интегралов совпадает с соответствую­щей терминологией для двойных интегралов. Точно так же формули­руется и теорема существования тройного интеграла.

Свойства двойных интегралов, полностью переносятся на тройные интегралы. Заметим только, что если подын­тегральная функция тождественно равна 1, то тройной интеграл выражает объем V области :

Потому свойства V и VI надо теперь сформулировать следующим образом.

V 1. Если функция во всех точках области интегри­рования удовлетворяет неравенствам

то

где V - объем области .

VI 1. Тройной интеграл равен произведению значения подын­тегральной функции в некоторой точке области интегрирования на объем области интегрирования, т. е.