1)Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (а;b) если выполняются следующие условия (стр. 5 )

Однако, условие монотонности не является необходимым.

— сходится.

Условие ограниченности первообразной в признаке Дирихле также является существенным, но не является необходимым.

27) Несобственные интегралы II рода

Пусть f(x) определена на (a, b], терпит бесконечный разрыв в точке x=a и . Тогда:

Если , то используется обозначение и интеграл называется несобственным интегралом Римана второго рода. В этом случае интеграл называется сходящимся. Если или , то обозначение сохраняется, а называется расходящимся к , или просто расходящимся.

Формула Ньютона-Лейбница

Формула Ньютона — Лейбница или теорема анализа даёт соотношение между двумя операциями: взятием определенного интеграла и вычислением первообразной.

Если непрерывна на отрезке и — ее любая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство

Пусть f(x) определена на [a, b) , терпит бесконечный разрыв при x=b и . Тогда:

Если , то используется обозначение и интеграл называется несобственным интегралом Римана второго рода. В этом случае интеграл называется сходящимся. Если или , то обозначение сохраняется, а называется расходящимся к , или просто расходящимся.

Если функция f(x) терпит разрыв во внутренней точке c отрезка [a;b], то несобственный интеграл второго рода определяется формулой:

28) Геометрический смысл несобственного интеграла I рода

Несобственный интеграл выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции.

Примеры

Геометрический смысл несобственных интегралов II рода

Несобственный интеграл выражает площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции

Пример

29) Двойным интегралом от неопределенной функции  f(x, y) распространенным на ограниченную замкнутую область S плоскости XOY называют предел соответствующей двумерной интегральной суммы

Двойной интеграл

Геометрический смысл двойного интеграла

Двойным интегралом называют кратный интеграл с .

. Здесь — элемент площади в рассматриваемых координатах.

В прямоугольных координатах: , где — элемент площади в прямоугольных координатах.

30) Условие существования двойного интеграла

Если область D с кусочно – гладкой границей Г ограничена и замкнута, а функция f(x, y) непрерывна в области D, то двойной интеграл

  как  предел соответствующих интегральных сумм, существует и не зависит ни от разбиения области D на элементарные ячейки, ни от выбора точек Mi(.

31) Свойства интегрируемых функций

Невырожденность: Положительность: Если интегрируемая функция f неотрицательна, то её интеграл по отрезку [a, b] также неотрицателен. Линейность: Если функции f и g интегрируемы, и , то функция бf + вg тоже интегрируема, и . Непрерывность: Если интегрируемые функции fi равномерно сходятся на отрезке [a, b] к функции f, то f интегрируема, и . (Последняя формула может быть получена уже как формальное следствие свойств 1-3 и интегрируемости предельной функции.) Аддитивность при разбиениях отрезка Пусть a < b < c. Функция f интегрируема на отрезке [a, c], тогда и только тогда, когда она интегрируема на каждом из отрезков [a, b] и [b, c], при этом . Непрерывная на отрезке функция интегрируема по Риману (следствие свойств 1-5). Разрывные функции могут быть интегрируемы, но могут и не быть; примером функции, не интегрируемой по Риману, является всюду разрывная функция Дирихле. Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману: функция интегрируема по Риману на отрезке [a, b], если и только если на этом отрезке она ограничена, и множество точек, где она разрывна, имеет нулевую меру (то есть может быть покрыто счётным семейством интервалов со сколь угодно малой суммарной длиной). Если функция F является первообразной непрерывной функции f, то интеграл функции f на отрезке [a, b] может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница: он равен F(b) − F(a). (Это - общее свойство любых интегралов, удовлетворяющих свойствам 1-5, а не только интеграла Римана.) Непрерывная на отрезке функция f всегда имеют первообразную, и каждая первообразная имеет вид: , где C - произвольная константа. Свойства двойного интеграла аналогичны свойствам определенного интеграла: Линейность:
. Аддитивность:
, если S1 и S2 две области без общих внутренних точек. Если для каждой точки выполнено неравенство , то . Если интегрируема на , то функция также интегрируема, причем . Если и наименьшее и наибольшее значения функции в области, а ее площадь, то . Теорема о среднем значении: если непрерывна в связной области , то существует, по крайней мере, одна точка такая, что .

32) Сведение двойного интеграла к повторному.

Выражение в правой части называется повторным интегралом.

Пусть область D задана в виде . Эта область снизу ограничена прямой , сверху - , слева кривой , справа кривой . Двойной интеграл от функции по такой области вычисляется по формуле