1)Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (а;b) если выполняются следующие условия (стр. 7 )

Тройным интегралом называют кратный интеграл с .

Здесь — элемент объема в рассматриваемых координатах.

В прямоугольных координатах , где является элементом объема в прямоугольных координатах.

Тройным интегралом от функции f(x, y,z) распространенным на область V называется предел соответствующей трехкратно суммы.

Определение. Пусть такое число, что . Тогда мы говорим, что интегрируема на , число есть интеграл по области и обозначаем это так: .

Как и в случае двойного интеграла, выполняются аналогичные свойства. Можно доказать, что если непрерывна на , то она интегрируема на . Точно также можно убедиться в том, что если точки разрыва лежат на конечном числе непрерывных поверхностей, лежащих в и разбивающих на кубируемые области, то интегрируема на .

36)

37) Основные свойства тройного интеграла

Пусть функции f (x, y,z) и g (x, y,z) интегрируемы в области U. Тогда справедливы следующие свойства:

, где k - константа;
Если в любой точке области U, то ;
Если область U является объединением двух непересекающихся областей U1 и U2, то ;
Пусть m - наименьшее и M - наибольшее значение непрерывной функции f (x, y,z) в области U. Тогда для тройного интеграла справедлива оценка:

где V - объем области интегрирования U.

Теорема о среднем значении тройного интеграла.
Если функция f (x, y,z) непрерывна в области U, то существует точка M0 U, такая, что

где V - объем области U.

Пример 1

Оценить максимальное значение тройного интеграла

где U представляет собой шар с центром в начале координат и радиусом R = 6.

Решение.

Уравнение шара имеет вид

Используя свойство 6, можно записать

где объем шара V равен

Максимальное значение M подынтегральной функции равно

Отсюда получаем верхнюю оценку тройного интеграла:

38)  Вычисление тройного интеграла через парлл-д

Тройной интеграл от функции f (x, y,z) в параллелепипеде определяется как предел суммы Римана, при котором максимальное значение приращений Дxi, Дyj и Дzk стремятся к нулю:

Чтобы определить тройной интеграл в произвольной области U, выберем параллелепипед , включающий заданную область U. Введем функцию g (x, y,z), такую, что

Тогда тройной интеграл от функции функции f (x, y,z) в произвольной области U определяется в виде:

39)

40) Замена переменных в тройных интегралах

При вычислении тройного интеграла, как и двойного, часто удобно сделать замену переменных. Это позволяет упростить вид области интегрирования или подынтегральное выражение.

Пусть исходный тройной интеграл задан в декартовых координатах x, y, z в области U:

Требуется вычислить данный интеграл в новых координатах u, v, w. Взаимосвязь старых и новых координат описывается соотношениями:

Предполагается, что выполнены следующие условия:

Функции ц, ш, ч непрерывны вместе со своими частными производными;
Существует взаимно-однозначное соответствие между точками области интегрирования U в пространстве xyz и точками области U' в пространстве uvw;
Якобиан преобразования I (u, v,w), равный

отличен от нуля и сохраняет постоянный знак всюду в области интегрирования U.

Тогда формула замены переменных в тройном интеграле записывается в виде:

В приведенном выражении означает абсолютное значение якобиана.

Для вычисления тройных интегралов часто используются цилиндрические и сферические координаты. Эти случаи рассматриваются подробно на страницах

Тройные интегралы в цилиндрических координатах Тройные интегралы в сферических координатах

Ниже приводятся примеры вычисления интегралов с использованием других преобразований координат.

Пример 1

Найти объем области U, заданной неравенствами

Решение.

Очевидно, что данная область является наклонным параллелепипедом. Удобно сделать такую замену переменных, при которой наклонный параллелепипед преобразуется в прямоугольный. В этом случае тройной интеграл сразу распадается на произведение трех однократных интегралов.

Сделаем следующую замену:

Область интегрирования U' в новых переменных u, v, w ограничена неравенствами

Объем тела равен

Вычислим якобиан данного преобразования. Чтобы не выражать старые переменные x, y, z через новые u, v, w, найдем сначала якобиан обратного преобразования:

Тогда

Следовательно, объем тела равен

Тройные интегралы в сферических координатах

Сферическими координатами точки M(x, y,z) называются три числа − с, ц, и, где

с − длина радиуса-вектора точки M;
ц − угол, образованный проекцией радиуса-вектора на плоскость Oxy и осью Ox;
и − угол отклонения радиуса-вектора от положительного направления оси Oz (рисунок 1).

Рис.1

Обратите внимание, что определения с, ц в сферических и цилиндрических координатах отличаются друг от друга.

Сферические координаты точки связаны с ее декартовыми координатами соотношениями

Якобиан перехода от декартовых координат к сферическим имеет вид:

Раскладывая определитель по второму столбцу, получаем

Соответственно, абсолютное значение якобиана равно

Следовательно, формула замены переменных при преобразовании декартовых координат в сферические имеет вид:

Тройной интеграл удобнее вычислять в сферических координатах, когда область интегрирования U представляет собой шар (или некоторую его часть) и/или когда подынтегральное выражение имеет вид f (x2 + y2 + z2).

Иногда выгодно использовать т. н. обощенные сферические координаты, связанные с декартовыми формулами

В этом случае якобиан равен

Пример 1

Найти интеграл , где область интегрирования U − шар, заданный уравнением x2 + y2 + z2 = 25.

Решение.

Поскольку область U представляет собой шар, и к тому же подынтегральное выражение является функцией, зависящей от f (x2 + y2 + z2), то перейдем к сферическим координатам. Сделаем замену:

Новые переменные изменяются в пределах:

Учитывая якобиан с2sin и, записываем интеграл в виде:

41) В цилиндрических координатах положение точки M(x, y,z) в пространстве Oxyz определяется тремя числами − с, ц, z, где с − длина радиуса-вектора проекции точки M на плоскость Oxy, ц − угол, образованный этим радиусом-вектором с осью Ox (рисунок 1), z − проекция на ось Oz (ее значение одинаково в декартовых и цилиндрических координатах).

Рис.1

Цилиндрические координаты точки связаны с ее декартовыми координатами соотношениями

Здесь предполагается, что

Якобиан перехода от декартовых координат к цилиндрическим равен

Тогда формула замены переменных при данном преобразовании имеет вид:

Переход к цилиндрическим координатам упрощает вычисление тройного интеграла в случаях, когда область интегрирования образована цилиндрической поверхностью.

Пример 1

Вычислить интеграл

где область U ограничена поверхностью x2 + y2 ≤ 1 и плоскостями z = 0, z = 1 (рисунок 2).

Рис.2	Рис.3

Решение.

Данный интеграл удобно вычислить в цилиндрических координатах. Проекция области интегрирования на плоскость Oxy представляет собой круг x2 + y2 ≤ 1 или 0 ≤ с ≤ 1 (рисунок 3).

Заметим, что подынтегральное выражение записывается в виде

Тогда интеграл будет равен

Здесь во втором интеграле добавлен множитель с − якобиан преобразования декартовых координат в цилиндрические. Все три интеграла по каждой из переменной не зависят друг от друга. В результате тройной интеграл легко вычисляется: