Введение в анализ (стр. 3 )

Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что

последовательность бесконечно большая при .

Исследовать на сходимость последовательность с общим членом

.

Пользуясь определением предела функции, доказать, что

а) ;        б) .

Найти пределы, если они существуют.

а) ;        б) ;        в) ;

г) ;        д);        е)

Исследовать функции на непрерывность, установить характер точек разрыва:

а)        б) .

Вариант 9

Рис. 17

Заштриховать ту часть диаграммы на рис. 17, которая соответствует множеству

Рис. 18

Записать множество, изображенное с помощью кругов Эйлера на рис. 18.

Пользуясь определением равенства множеств, доказать, что

.

Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что

последовательность бесконечно малая при .

Исследовать на сходимость последовательность с общим членом

.

Пользуясь определением предела функции, доказать, что

а) ;        б) .

Найти пределы, если они существуют.

а) ;        б) ;        в) ;

г) ;        д) ;        е) .

Исследовать функции на непрерывность, установить характер точек разрыва:

а) ;        б) .

Вариант 10

Рис. 19

Заштриховать ту часть диаграммы на рис. 19, которая соответствует множеству

Рис. 20

Записать множество, изображенное с помощью кругов Эйлера на рис. 20.

Пользуясь определением равенства множеств, доказать, что

.

Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что

.

Исследовать на сходимость последовательность с общим членом

.

Пользуясь определением предела функции, доказать, что

а) ;        б) .

Найти пределы, если они существуют.

а) ;        б) ;

в) ;        г) ;

д) ;        е) .

Исследовать функции на непрерывность, установить характер точек разрыва:

а)        б) .

Вариант 11

Рис. 21

Заштриховать ту часть диаграммы на рис. 21, которая соответствует множеству

Рис. 22

Записать множество, изображенное с помощью кругов Эйлера на рис. 22.

Пользуясь определением равенства множеств, доказать, что

.

Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что

.

Исследовать на сходимость последовательность с общим членом

.

Пользуясь определением предела функции, доказать, что

а) ;        б) .

Найти пределы, если они существуют.

а) ;        б) ;

в) ;        г) ;

д) ;        е) .

Исследовать функции на непрерывность, установить характер точек разрыва:

а) ;        б) .

Вариант 12

Рис. 23

Заштриховать ту часть диаграммы на рис. 23, которая соответствует множеству

Рис. 24

Записать множество, изображенное с помощью кругов Эйлера на рис. 24.

Пользуясь определением равенства множеств, доказать, что

.

Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что

.

Исследовать на сходимость последовательность с общим членом

.

Пользуясь определением предела функции, доказать, что

а) ;        б).