Результаты единого государственного экзамена по математике в Туле (базовый уровень) (стр. 3 )

Всего алюминия в двух областях будет добыто  , а никеля  . По условию задачи алюминия должно быть в 2 раза больше никеля, то есть . Всего сплава будет . Подставив вместо его выражение через  и , получим функцию двух переменных . Нужно найти максимальное значение этой функции при условии  . Для нахождения этого максимума используем прием, который был применен ранее при решении задачи 1. Рассмотрим "целевой вектор"  . Максимум будет достигаться в точке пересечения прямой с окружностью . Координаты точки пересечения (10,30).  При   имеем .

Ответ 240

3.

На первый взгляд задача аналогична предыдущей. Однако решается она совсем по-другому.

Решение. Пусть на первом комбинате рабочих изготавливают детали А и рабочих изготавливают детали В. На втором комбинате детали А и В изготавливают, соответственно, и рабочих.  Тогда деталей А будет изготовлено , а деталей В  . По условию задачи  деталей А в 2 раза больше, поэтому

Заметим сразу, что . Поэтому . Всего изделий будет изготовлено столько же, сколько будет изготовлено деталей В, то есть . Подставляя , получим выражение для числа деталей через : . Значение последнего выражения будет наибольшим, если принимает наименьшее из своих возможных значений. Полагая , получим . Это ответ. 

4.  Строительство нового завода стоит 75 млн рублей. Затраты на производство x тыс. ед. продукции на таком заводе равны 0,5x2​+x+7 млн. рублей в год. Если продукцию завода продать по цене p тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн. рублей) за один год составит px−(0,5x2​+x+7). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении p строительство завода окупится не более чем за 3 года?

Решение. Прибыль за три года должна быть не менее 75 млн рублей. Значит должно выполняться условие 3[px−(0,5x2​+x+7)] 75. Или -0,5x2​+(р-1)x-725. Годовая прибыль будет наибольшей, если объем выпуска соответствует вершине параболы, т. е. х=р-1. Тогда прибыль -0,5(р-1)2+(р-1)2-7=0,5(р-1)2-7. Из условия  0,5(р-1)2-725 находим р9.

5.

Решение. Пусть на первом поле фермер посадит картофеля и свеклы, а на втором поле картофеля и свеклы. Тогда он соберет ц. картофеля и свеклы. Его выручка от продажи составит

 

Выручка будет наибольшей, если . Она составит рублей 

6. 15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца (то есть каждый месяц долг становится меньше на 1/19 часть накопленного долга).

  Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

Задач такого типа с разными вариациями заданий много.

Общая идея решения подобных задач

Пусть кредит в сумме взят на месяцев. Первого числа месяца, следующего за датой взятия кредита, долг становится . Пусть - первая выплата. После первой выплаты долг обязан сократиться на , то есть должен стать  равным . Из уравнения находим . Проводя такие же рассуждения с новым долгом, находим вторую выплату . Аналогично  .  И так далее. Последняя выплата должна полностью погашать последний остаток долга, поэтому . Складывая все выплаты, находим

Итак, сумма всех выплат . (*) 

Иногда требуется найти сумму выплат не за весь период кредитования, а только за месяцев. Тогда, проводя рассуждения, подобные проведенным выше, можно найти эту сумму, которая будет равняться  (**). Заметим, что при формулы (*) и (**) совпадают.

Зеленым цветом выделены ключевые моменты, используемые при решении многих задач.

Решение задачи 6.  Здесь . По условию задачи

Ответ: 3%

7. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 4,5 млн рублей на срок
9 лет. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Найдите r если известно, что наибольший годовой платёж по кредиту составит не более 1,4 млн. рублей, а наименьший – не менее 0,6 млн. рублей.