Результаты единого государственного экзамена по математике в Туле (базовый уровень) (стр. 4 )

Решение. Легко проверить, что каждая следующая выплата меньше предыдущей. Поэтому наибольшая выплата – первая, а наименьшая – последняя.  Здесь . Поэтому, по условию задачи, имеем систему неравенств

 

Разрешая эту систему относительно , получаем

Ответ: 20%

8. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн рублей
на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 9 млн рублей?

Решение. Неизвестно число лет. Наибольший годовой платеж – первый.

Сумма выплат

9.  15-го января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного его погашения равнялась 1 млн рублей?

Решение. Здесь  .

Ответ. 800 тысяч.

10. 15-го января планируется взять кредит в банк ена сумму 2,4 миллиона на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму нужно выплатить банку за первые 12 месяцев?

Решение.  Можно сразу воспользоваться формулой (**). Здесь

 

Поэтому сумма выплаты  

Стереометрия и геометрия

В заключение приведем один полезный подход, который может быть использован при решении многих встречающихся в вариантах ЕГЭ стереометрических и геометрических задач.

Вспомогательная задача. В треугольнике АВС проведены прямые ВМ и СN так, что . Эти прямые пересекаются в точке О. Найти отношение

Решение. Из точки М проведем прямую ML, параллельную CN. Пусть . По теореме Фалеса можем записать соотношения                                                                                                                                                                                                                                                                                 

Если заданы отношения и , то из равенства можем найти .

 

Решение. a) Так как все ребра пирамиды одинаковые, то все грани – правильные треугольники. Поэтому как медианы равных правильных треугольников. Значит треугольник равнобедренный.  Так как точка О цент правильного треугольника, то . По условию . Поэтому здесь . Значит . Следовательно – медиана, а значит и высота треугольника  .

b) Так как , то искомое расстояние есть длина отрезка . Оно равно 2.