Методические указания по математике для поступающих в 10-й класс технического лицея РГУПС Ростов-на-Дону 2003 (стр. 6 )

№	Задания	Ответы
1	Если два смежных угла относятся как 5:3, то разность этих углов равна	450
2	Если гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13, а один из катетов – 5, то радиус вписанного круга равен	2
3	В равностороннем треугольнике радиус вписанного круга равен 2. Тогда площадь треугольника равна	36
4	Если в треугольнике один из углов 60є, а противолежащая сторона 4, то радиус описанного круга равен	4
5	Стороны треугольника 6 и 16, а острый угол между ними 60є. Тогда длина третьей стороны равна	14
6	Диагональ квадрата  8. Тогда радиус вписанного круга равен	4
7	В прямоугольнике диагональ 8 см, а угол между диагоналями 30є. Тогда площадь прямоугольника равна	16
8	Если сторона ромба 8 см, острый угол 30є, то радиус вписанного круга равен	2
9	В параллелограмме одна из сторон равна 12, а диагонали равны 19 и . Найти периметр параллелограмма.	42
10	Сумма двух противоположных сторон описанного около окружности четырехугольника, равна 12 см. Тогда периметр равен	24
11	В равнобедренной трапеции основания равны 6 и 14 см, а угол при основании 45є. Тогда площадь трапеции равна	40
12	Сходственные стороны подобных треугольников относятся, как 2:3. Площадь большего треугольника равна 72. Тогда площадь меньшего треугольника равна	32
13	Площадь треугольника равна 16, радиус вписанного круга равен 2. Тогда периметр треугольника равен	16
14	Проекции катетов на гипотенузу равны и. Тогда высота, опущенная на гипотенузу равна	3) 24
15	Из точки вне окружности проведены касательная АВ и секущая АС равная ,  пересекающая окружность в двух точках  Д  и  С. Длина отрезка  АД =. Тогда длина  АВ равна	3

Тесты по геометрии  второго уровня

Тест  № 1

№	Задания	Ответы
1	Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15 см, а проекция другого катета на гипотенузу равна 16. Тогда радиус окружности, вписанной в треугольник, равен	5
2	Радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника с основанием 16 и высотой 4, равен	10
3	Площадь ромба 24 смІ, а одна из его диагоналей 8 см. Если d – расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны ромба, то 5d равно	12
4	Стороны параллелограмма 6 и 16, а его тупой угол 120є. Тогда длина меньшей диагонали равна	14
5	Основания равнобедренной трапеции равны 16 и 30, а диагонали взаимно перпендикулярны. Тогда площадь трапеции равна	529
6	Из точки окружности проведены диаметр и хорда, длина которой 30. Проекция хорды на диаметр относятся к радиусу окружности как 18: 25. Найти радиус окружности.	25

Тест №2

№	Задания	Ответы
1	Гипотенуза прямоугольного треугольника делится на отрезки длиной 5 и 12 точкой касания вписанной окружности. На какие отрезки делит катет треугольника биссектриса меньшего угла? Указать длину большего отрезка.	4,25
2	В треугольнике со сторонами 4, 8, 9 проведена биссектриса к большей стороне. Длина этой биссектрисы равна
3	Периметр ромба равен 48, а сумма длин диагоналей равна 26. Тогда площадь ромба равна	25
4	Стороны параллелограмма 7 и 1. Диагонали параллелограмма относятся как 4:3. Тогда длина большей диагонали равна	8
5	Найти площадь равнобедренной трапеции, диагонали которой перпендикулярны боковым сторонам, высота равна 1, а меньшее основание равно 1,5.	2
6	Из внешней точки проведены к окружности секущая длиной 12 см и касательная, длина которой составляет внутреннего отрезка секущей. Определить длину касательной.	6

Тест № 3

№	Задания	Ответы
1	Периметр прямоугольного треугольника равен 24, а гипотенуза 10. Тогда площадь треугольника равна	24
2	В треугольник АВС вписана окружность. С1 В1  – точки её касания со сторонами АВ и АС соответственно. АС1  = 7, ВС1  = 6, В1С = 8. Тогда радиус окружности, вписанной в треугольник, равен	4
3	Острый угол ромба 600.Сумма длин стороны и высоты  равна 2 . Тогда площадь ромба равна	24
4	Периметр параллелограмма равен 90, а острый угол 60°. Диагональ параллелограмма делит тупой угол на части в отношении 1:3. Тогда длина меньшей стороны равна	15
5	В равнобедренной трапеции основания 32 и 4. Центр описанной окружности находится на нижнем основании. Тогда диагональ трапеции равна	24
6	В окружности перпендикулярно диаметру АВ проведена хорда СД. Точка их пересечения делит диаметр на отрезки длиной 18 и 32. Длина хорды СД равна	48

Рассмотрим решение некоторых заданий, вызывающих наибольшие затруднения у учащихся при их решении.

Прежде всего, это задания, связанные с понятием модуля.

Из определения следует, что

Следует знать, что .

Пример 1. Вычислить .

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Ясно, что есть две возможности: 3х + 2 = 4 или 3х + 2 = -4. Откуда несложно получить х = или х = -2.

Таким образом, при решении уравнений вида , , переходим к совокупности

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Указанный выше прием освобождает нас от необходимости находить интервалы знакопостоянства квадратного трехчлена с «громоздкими» корнями.

Имеем

Предлагаем решить уравнения самостоятельно.

Ответ: -2 или 3, или .

Пример 4. Решить неравенство: .

Решение. Неравенство вида (a>0)

равносильно системе

Итак, получаем систему    

Ответ: 1 < x < 4.

Пример 5. Решить неравенство .

Решение. Неравенство вида равносильно совокупности

Имеем

Ответ: x< или x>3.

Решению задач с параметрами отводится в школе незначительное место, но, тем не менее, варианты ЕГЭ и централизованного тестирования содержат задания, содержащие параметры.

К задачам с параметром, рассматриваемым в школьном курсе, можно отнести, например, поиск решений линейных и квадратных уравнений в общем виде, исследование количества их корней в зависимости от значений параметра.

Пример 1. При каких значениях  a  уравнение   имеет единственное решение?

Решение. Пусть а = 2, тогда исходное уравнение вообще не имеет решений.

Если а, то данное уравнение – квадратное.

Если дискриминант обращается в нуль, то уравнение имеет два равных корня. D = b2 – 4ac

(4 – 2a)2 –12(a – 2) = 0,

16 – 16a + 4a2 – 12a + 24 = 0,

4a2 – 28a + 40 = 0,

a2  - 7a + 10 = 0,

a = 2 или a = 5.

Поскольку установили, что a = 2 не подходит, то a = 5.

Ответ: a = 5

Пример 2. При каких значениях а неравенство ax2 + 2ax + 0,5 > 0 выполняется на всей числовой оси?

Решение. Графиком квадратного трехчлена является парабола. Чтобы функция у = ах2 + 2ах + 0,5 принимала только положительные значения, необходимо, чтобы график функции был расположен выше оси ОХ.

Это соответствует тому, что  

Отсюда следует, что .

Ответ: .

Пример 3. Найти все значения параметра  b  при которых система   имеет единственное решение.

Решение. Система вида называется линейной. Каждому уравнению системы соответствует прямая.

Если , то система имеет единственное решение (прямые пересекаются в одной точке).

Если , нет решений (прямые параллельны).

Если , система имеет бесконечно много решений (прямые совпадают).

В нашем случае:

Ответ: и .