Семантические понятия, теории и алгоритмы (стр. 2 )

Теория понятий считает, что математика  с появлением множеств в тот же момент превратилась в информатику. в естественно научную дисциплину.

4. Семантика

Семантика это не досужийдомысел досужих мыслителей.

Кантор предложил ставить предметы мышления в один ряд с предметами созерцания. Кантор, наверное, не случайно использовал для называния определяемой сущности термин  множество, который в бытовом смысле очень близок термину совокупность элементов. Этим  лишний раз подчёркивается, что определяемая  сущность  по определению  не отличается от совокупности элементов, хотя и не  является совокупностью элементов. Семантика некоторых сущностей доступна посредством оператора GOOGLE (термин). 

В  определении понятия множества несколько неопределённым  остаётся вопрос о единении элементов.  Поскольку в определении понятия множества способ, алгоритм единения элементов определяющей совокупности не определён и не зафиксирован, не исключено, что множества,  определяемые на некоторой конкретной совокупности элементов, могут  в теории множеств различаться. «Если нечто не исключено, то оно возможно». Но определение понятия множества требует, чтобы в любом случае сущности, составляющие определяющую совокупность, были различимы. Так, если мы сумеем различать определяемые множества, то в качестве предметов нашего мышления элементами множества могут являться определённые множества. Существенно, что не определяемые множества, а уже определённые множества.  Это требование определения множества. Ибо не опреднлённые множества различать затруднительно.

Ещё один нюанс в определении множества: определение множества предполагает, что некая сущность M представляет совокупность элементов {mi}в достаточной мере. Практически это не всегда выполнимо. Даже найти сущность, которая будет представлять эту совокупность хотя бы в некоторой степени не так просто. Исскуство мышления. В некоторых ситуациях это исключено в принципе. На нет и суда нет. Мышление нетривиально.

В своё время, в начале 20-го века  теории множеств уделялось много внимания  в надежде на использование её в качестве надёжного, прочного фундамента  математики.  Однако в самом начале  развития теории множеств в ней были обнаружены логические противоречия (обычно называемые парадоксами). Наиболее простое из них так называемый парадокс Рассела. В связи с этим канторовская теория множеств как основание математики была отвергнута. Следует заметить, что первый парадокс множеств был замечен ещё  самим автором теории множеств, но это не остановило его от  продолжения работы над теорией множеств. Кантор, наверное, понимал, что эти парадоксы преодолимы средствами самой теории множеств

5. Последний парадокс теории множеств С точки зрения теории понятий парадокс Рассела ошибочен. Гильберт считал, что парадоксы теории множеств вызваны не законом исключённого третьего. Он  писал: «эти парадоксы происходят  скорее потому, что используются недопустимые, бессмысленные  образования понятий, которые в моей теории  исключаются сами собой». Он предлагал различать  «действительные» и «идеальные» предложения классической математики. Первые имеют содержательный смысл, а вторые не обязаны иметь содержательный смысл. Мы присоединяем идеальные предложения к действительным, чтобы простые правила логики были применимы и к рассуждениям о бесконечных множествах. Это существенно упрощаетструктуру всей теории.

Гильберт занимался логическим обснованием математики, математической логикой. Одним из наиболее замечательных достижений математической логики явилась разработка  понятия общерекурсивной функции (1934) и формулировка тезиса Чёрча (1936),утверждающего, что понятие рекурсивной функции является уточнением интуитивного понятия алгоритма. По существу вся математика  связана с теми или иными алгоритмами. Но только после после уточнения и формализации понятия алгоритма появилась возможность обсуждать  алгоритмическую неразрешимость задач в математике. Оказалось, что алгоритмически неразрешимые проблемы связаны с очень распространёнными и фундаментальными  понятиями математики.

Гильберт в непротиворечие с Кантом считал, что идеальные виртуальальные сущности должны быть достаточно осмысленными и определёнными даже если это есть аксиомы. Аксиомы требуют доказательства.

Дело в том, что множество это не совсем то, что совокупность, хотя они и представлены одними и теми же элементами. Кантор их различает. Если Рассел  хочет рассматривать множества, то определяющая совокупность элементов должна в соответствие с определением множества содержать хорошо различимые элементы, но Рассел не предлагает способа различения совокупностей т. е. множеств, образованных, например, одними и теми  же по составу наборами элементов – множеств. Таким образом, при рассмотрении в упомянутом парадоксе множества таких  множеств, оно оказывается не определённым.

Теория категорий [4], пропагантируемая некоторыми математиками, наряду со множествами идентификаторов, точнее, наряду с совокупностями  произвольных идентификаторов рассматривает различные подсовокукпности этих  идентификатолров, которые она считает и  называет классами, что не меняет положения дел. В теории категорий канторовские множества так же не используются.

Теория понятий не видит в парадоксе Рассела ничего парадоксального.

Несмотря на всю тривиальность определения множества наивной теории множеств, оно определяет даже очень нетривиальные для понимания и использования сущности. Имеющиеся  аксиоматики  теории множеств не признают  отличие совокупности элементов от множеств этих же элементов.

Первой же  аксиомой всех предлагаемых аксиоматических определений множеств является следующая аксиома. «Два множества U и V равны тогда и только тогда, когда имеют одни и те же элементы». Эту аксиому, это утверждение можно принять без доказательства, если множество элементов не отличать от совокупности элементов. Хотя совершенно непонятно зачем рассматривать две неотличающиеся по составу совокупности элементов. В  наивной теории множеств  Кантора это не так. Кантор их различает. Кантор считает, что совокупности элементов и множество этих же элементов находятся в некотором вновь определяемом отношении. Это отношении представляется самим определением множества. Как следствие определения множества Кантор  полагает, что две совокупности элементов  не равны, но, скорее изоморфны если они определяют одно множество. Поэтому, не исключено, что: «Две  совокупности  {Mi} и {Mk} имеющие одни и те же элементы могут отличаться», но при этом быть изоморфными. «Если нечто не исключено, то оно возможно» Утверждение «две совокупности U и V имеющие одни и те же элементы, не равны но изоморфны» есть семантический вариант теоремы Кантора-Берштейна –Шрёдера. Для конечных совокупностей.

Теорема Кантора-Берштейна-Шрёдера утверждает и  доказывает, что для бесконечных множеств отношения взаимооднознчного соответствия возможны. Несмотря на то, что Кантор является автором, одним из авторов этой теоремы, теорема сформулирована и доказана  с недостаточным акцентом на бесконечность рассматриваемых множеств. Для конечных множеств в теории множеств  такого утверждения естественно  нет. Некоторые математики используют отношения взаимооднозначного соответствия для конечных множеств, что приводит к семантическим некорректностям. Для конечных множеств взаимооднознчные отношения  не всегда семантически корректны. Теория семантических понятий строит, определяет семантические отношения, семантически корректные отношения для конечных множеств. Семантические отношения обоснованы средствами самой теории множеств.

В теории множеств Кантор не использует ни аксиом, ни даже постулатов. Для построения теории множеств Кантору было достаточно определения понятия множества. Определение множества не является ни аксиомой, ни постулатом. Оно является семантическим определением. В теории понятий нет определений аксиом и постулатов, что не исключает возможности  их использования буде такие сущности  будут определены; они могут быть использованы  в качестве элементов определяющих сущностей в одном ряду с прочими предметами созерцания и предметами мышления.

Ценность теории множеств теория понятий усматривает не в том, что появился термин «бесконечность», а в том, что Кантор предложил метод использования различных (не исключая и аксиоматических) теорий.

Определение понятия множества это результат мышления Кантора. Предлагая определение понятия множества, Кантор на самом деле предлагает, точнее, предполагает, новую несколько иную логику мышления, иную технологию мышления. Иную (безаксиоматическую) логику. В логике Аристотеля не рассматривается возможность рассмотрения неких других сущностей, кроме предметов созерцания. Поэтому в логике Аристотеля нет определений. Кантор наряду с предметами созерцания предлагает рассматривать некие новые определяемые сущности. В качестве таких сущностей кантор предлагает использовать предметы мышления. В теории множеств по необходимости нужно более осознано относиться  к  определяемым  сущностям. Так если в логике Аристотеля существование некоторой сущности  обосновывается тем, что она является предметом созерцания, то в логике Кантора предметы мышления могут создаваться и использоваться мыслителем наряду с естественными предметами созерцания.

Предмет мышления отличить от предмета созерцания не очень просто. Гарантированно это может осуществить лишь автор предмета мышления

6. Усиление парадокса Рассела

В определении множества упомянуто единение элементов, но не представлен алгоритм единения. Это сделано очень осознанно, ибо  как только мы допустим универсальный и неизменный  механизм единения (хотя бы даже посредством алгоритмов,  аксиом или постулатов) оно (это единение и этот механизм единения)  становятся не нужными.  Ибо вместо результата единения  всегда возможно и достаточно использования совокупностей элементов в качестве аргумента этого универсалного метода единения. Очень похоже, что именно по этой причине аксиоматическая теория множеств и не использует единение элементов ни в каком бы то виде это не осуществлялось. Это уже не кризис теории множеств, это кризис  оснований математики, это кризис всей математики как  аксиоматической математики, так и алгоритмической математики.  Это даже;  не парадокс, а скорее тупик. Кантор избегает этой проблемы в теории множеств путём непредложения алгоритма единения элементов. А это уже алгоритмический  парадокс: не алгоритм решает проблему,  а его отсутствие. Это хуже, чем логический парадокс. Это тупик. В семантической диалектической математике никакого тупика нет. Допуская неалгоритмичность мышления, теория понятий использует мышление для единения элементов совокупностей. Мышление не алгоритмично, но это не значит, что мышление никак не может быть ииспользовано. Мышление в аксиоматической математике  не используется и даже не упоминается. Усиление парадокса Рассела обосновывает необходимость мышления в математике.