Семантические понятия, теории и алгоритмы (стр. 5 )

Рассмотрим такой практический пример: альпинист по некоторой горной тропе поднимается на Эверест  и каждый час измеряет и записывает значение атмосферного давления. По возвращении в альпинистский лагерь он рисует график этой функции по дной оси он откладывает значения атмосфеного давленияпо другой оси откладывает время, когда он производил замеры давления. По завершению этого занятия он заявляет, что атмосферное давление является функцией времени, что очевидно неправильно. Неучтённой осталась высота подъёма над уровнем земли. Для правильной интерпретации полученных результатов. Требуется мышление. Дирихле в этом деле не помощник.

Так функция по Лейбницу и функция по Дирихле семантически различны в том смысле, что они  функции от различных аргументов, хотя в остальном они полностью идентичны.

В математической логике используются так называемые булевские функции.  Булевская функция не является функцией в смысле определения функции по Лейбницу и даже функцией Дирихле.  Булевская функция является определением множества для случая измеримых сущностей с точностью [0-1] юс точностью [да-нет].  Теория понятий считает булевскую функцию семантическим определением.

Ещё одним примером семантической некорректности можно считать использование множеств  Кантора. Кантор определил множество как результат единения элементов совокупностей элементов. Рассел в определении множества не обратил внимания на глагол «единение» в определении понятия множества и предложил считать слова множество и совокупность считать синонимами. Это привело к так называемому парадоксу Рассела.  В определении множеста Кантор их (термины множество и совокупность) различает.

Числа  вопределении  Кантора и числа Даламбера также семантически различны.  А уж про псевдоевлидово пространство и говорить не приходится: игра в символы в непрекрытом виде, которая к реальному миру не имеет никакого отношения. Или тщательно закамуфлорованное отношение. Может быть,  этот камуфляж нет необходимости  использовать.

Теория понятий предлагает к использованию семантическую математику, основанную на семантических определениях.

Даже семантическая арифметика очень нетривиальна. Так сложение возможно только данных с одной семантикой, а вот результат сложения  в семантической математикеможет иметь различную семантику в зависимости например от порядка сложения результат сложения A+B может по семантике отличаться от сложения B+A. И это практически проверяемый факт. Так результат сложение цемента песка и воды зависит не только от соотношения смешиваемых компонент, но и от порядка их смешивания. Операция умножения вообще является в большей степени сугубо семантической операцией. Так умножение метра на метр имеет результатом квадратный метр. Умножение массы на скорость имеет результатом импульс силы решение этой проблемы даёт оператор GOOGLE(Что есть результат умножения массы на скорость?).

В семантической математике используются функции в определении  Лейбница. Функция это GOOGLE{Что есть функция по Лейбницу }.

С определением понятия функции тесно связана операция интегрирования функций. При определении интеграла функции используется операция умножения значений. Это очень существенный, нетривиальный  момент. В зависимости от семантики резульатаполучаютсяочень различные интегралы. Так умножение скорости на время, получается в механике  путь в зависимости от семантики сомножителей получаются семантически различные интегралы. По Ньтону умножение массы на ускорение определяет силу.

В теориипонятий интегрирование определяется не для произведений значений данных, а для интегральной суперпозиции функций.

Семантика определения произведения величин fΔx

Это определение операции произведения функций.

Теория понятий при определении алгоритмических операций исходит из того, что взаимозамены элементов возможны, если они обладают одной семантикой. Как представляется, ничто не мешает обратить это утверждение:  взаимозаменимые сущности  обладают одной семантикой. 

12.Семантические интегралы

Необходимы семантические интегралы

Определение множества может считаться и являться предметом мышления по Г. Кантору на основании  «определения определения». Определение множества по Г. Кантору действительно является семантическим определением, если определяемое множество имеет семантическую  интерпретацию, предполагает его понимание.

Множество, как оно определено Г. Кантором, гарантированно является семантическим определением, поскольку по определению множества результат единения определяется исключительно только составом элементов определяющей множество совокупности элементами и для семантической интерпретации определённого множества может быть использована одна и та же совокупность элементов, но с различными весами, с различной значимостью.

Возможны ситуации, когда одна и та же совокупность элементов определяет различные множества (например, если при единении элементы будут иметь различные веса, что не  только не  противоречит требованию определения множества, чтобы элементы были хорошо различимы). А, наоборот, взвешенность элементов даже улучшает  различимость элементов.

13. Заключение

В начале XX века Г. Кантор пришёл к выводу, что интуитивная математика, которой он занимался всё время, требует логического обоснования, формализации. Требуется основание математики. И  Г. Кантор занялся философией математики, как это тогда именовалось. Кантор, когда он занялся философией математики пришёл к выводу, что для математики представляет интерес не только состав элементов совокупностей, но и отношения в которых они находятся, включая и вновь определяемые и предложил схему определения новых сущностей. В аксиоматике Цермело  отношение сущностей игнорируется. Даже такое простейшее отношение, как упорядоченность элементов во внимание не принимается.

Проблемы использования числовых данных в математике начались при переходе от рассмотрения количеств штучных предметов  к другим семантическим сущностям. Математика традиционно использовалась для измерения различных сущностей Потребовалось измерять  расстояния  массы, площади, объёмы, скорости, энергию  и т. д.  Хорошо было математике пока имелась некии стабильные  единицы  измерения. Но когда физики обнаружили, что единица измерения рассмояния изменчива (зависит от скорости её перемещения. Положение математики усугубилось. Кроме того возникали и другие  семантические проблемы. Не математические, а семантические наряду с математическими. Наряду с количественными характеристиками  стали существенными и другие семантические характеристики. Хорошо, что Кантор побеспокоился, подстраховался заблаговременно и  предложил использование определяемой интегральной. метрики. Теория семантических понятий считает эту метрику семантикой.

Возникали и другие  семантические проблемы. Не математические, а семантические наряду с математическими. Наряду с количественными характеристиками  стали существенными и другие семантические характеристики.

Расстояние пройденное путником  за  7 дней при прохождении  по 6км в день это совсем не то, что площадь участка размером 6 на 7 метров. Хотя  в математике, в арифметике результат получается выполнение одной той же операции умножения чисел. Возникает большая путаница. Различать и преобразовывать сантиметры в дюймы или километры в морские мили люди научились довольно быстро. А  вот квадратные метры и линейные метры и в математике и в алгоритмических азыках не различаются до сих пор.  В физике, научились  использовать размерности величин.

  Г. Кантор, занимаясь философией математики, пришёл к мысли, что предметы созерцания могут быть пополнены предметами мышления и предложил схему мышления.  И не потому, что ему предметов созерцания было ему недостаточно, а потому, что среди предметов срзерцания не оказалось семантически различных, виртуальных сущностей

Одной из первых работ Г. Кантора по философии математики была заметка, в которой он критиковал определение числа, которое Фреге  предложил в работе основания арифметики [6].  Г. Кантор предложил задействовать в основаниях математики мышление и предложил предметы созерцания пополнять предметами мышления. Теория понятий считает, что математика в тот же момент превратилась в информатику, в естественнонаучную дисциплину.

При расширении сферы применения математики  в ней возникают различные новые проблемы: в первую очередь семантические. Так для подсчёта баранов было достаточно целых чисел для измерения длин отрезков уже требуются дйствительные числа, для измерения площадей требуется новая единица измерения,  для измерения параметров механического движения требуется определение неких новых подходящих  единиц измерения и т. д. В  математике для развития математики требуются определения. Г. Кантор обеспечил формальное определение определения.. Определения обеспечивает дальнейшее развитие семантической математики её собственными средствами.

Семантические аспекты данных весьма существенны для оснований математики. Так отрицательные числа получили признание в математике лишь тогда, когда появилась их семантическая интерпретация. В  аксиоматических основаниях математики отрицательных чисел не имеется до сих пор. Теория понятий руководствуется концепцией, что  брошенный камень летит не по траектории, придуманной математиками, а наоборот математике удалось найти траекторию по которой летит любой камень и как бы он не был прошен. Так в частности для представления этой траектории не требуется трёхмерного пространства, достаточно двумерного. Это экспериментально проверяемый факт. Использование этой концепции превращает теорию понятий в в естественнонаучную теорию.

Совокупность семантических понятий, теорий и алгоритмов  в целом определяет семантическую математику. Семантическая математика во многом отличается от традиционной математики. Так, к примеру, в семантической математике операция произведения отрицательных чисел определенна не для любых сущностей. В целом семантическая математика является обобщением аксиоматической математики в том смысле, что в семантической математике аксиоматика, как предмет мышления может быть использована в качестве элемента определения семантического понятия.