При использовании мышления возникают некоторые новые проблемы. Наиболее существенная проблема заключалась в том, что все люди мыслят по разному и в результате различных мышлений, естественно, могут получаться различные результаты. Как представляется это была основная причина неприятия математиками теории множеств Кантора. Математикам хотелось иметь однозначную математику, не зависящую от особенностей мышления отдельных индивидуумов. Обнаруженные парадоксы использования совокупностей легко могли быть выданы за парадоксы множеств на том основании, что и совокупности и множества состоят из одних и тех же элементов, что давало логическое основание для неприятия теории множеств. Естественный подход к решению этой проблемы видится в унификации процесса единения элементов совокупности в определении множества.
При использовании для единения элементов созерцания мышления индивидуумов, для единообразность мышления отдельных индивидуумов может быть обеспечена унификацией мышления индивидуумов, что очевидно невозможно.
Кантор это конечно прекрасно осознавал и, наверное, полагал, что
что если естественный интеллект способен осуществить единение элементов совокупности с помощью мышления, то, наверное, он посредством того же мышления сумеет и отличить предметы мышления от предметов созерцания.
Схема определения множества не является алгоритмической операцией в том смысле, что единение одной т ой же совокупности элементов может давать различные результаты. Математики не приемлют то, что единение элементов сововкупности при их единении по Г. Кантору могут давать различные результаты. Теория поняий усматривает в этом свободу мышления. Мышление не алгоритмично. Именно по этой причине Г. Кантор не представил алгоритм единения. Теория понятий учитывает диалектику мышления.
В информатике, в теории понятий возможно семантическое обоснование акта замены значений данных (которое, к слову остаётся не обоснованным в аксиоматической математике). Многие математики по не очень понятным соображениям отвергли использование мышления в математике и упорно не рассматривают множества в определении Г. Кантора и останавливают своё мышление на рассмотрении лишь совокупностей элементов, без превращения этих совокупностей элементов во множество этих же элементов.
Ну не видят математики смысла в единении предметов созерцания и предметов мышления, но это вовсе не означает, что его там нет.
В чём может заключаться семантика (смысл) единения предметов созерцания и предметов мышления пытается выяснить теория понятий. Но не обращать внимания, игнорировать семантику совокупностей элементов можно до тех пор пока совокупности состоят исключительно из предметов созерцания, до тех пор, пока математикам не приходится, к примеру, пересчитывать элементы совокупности элементов множеств. Как только среди элементов встречаются пустые множества, то даже с подсчётом элементов возникают некоторые проблемы. Следует его считать или не следует? У. Кантора таких проблем нет.
Ну не вижу я семантики, смысла в чёрном квадрате, даже не вижу семантики в чёрном кводрате Малевича, но утверждать, что его там нет не берусь.
В 1908 году Цермелло предложил вместо наивной теории множеств аксиоматический вариант представления теории множеств. Аксиоматический вариант представления можно бы было принять, если бы была показана невозможность определения некоторой требуемой в математике сущности. Обнаружение логического противоречия не является достаточным основанием для непринятия так называемой наивной теории множеств. Ибо теории множеств предполагает использование иной (диалектической)логики.
При использовании аксиоматического определения множества развернулась некоторая дискуссия по поводу так называемой аксиомы выбора. Было предложено несколько различных вариантов этой аксиомы. Теория категорий остановила свой выбор на иснпользовании аксиомы выбора Цермело, заключающейся в том, что если имеется некое множество, образованное некоторой совокупностью элементов M:{mi}, то и любая подсовокупность этой совокупности элементов образуют множество, которое называется подмножеством рассматриваемого множества.
Теорияпонятийрешает проблему аксиомы выбора. В теории понятий подмножества образуют не любые подсовокупности, а только определённые пользователем по той простой причине, что если пользователю удалось осуществить единение исходной совокупностьи элементов, то это ещё не значит, что ему удастся единить и любую подсовокупность и больше того даже повторное единение исходной совокупности может определять новое множество. Теория категорий это постулирует. Теория понятий считает, что существуют только те подмножества, которые определены.
Аксиоматика множеств неприемлема для теории понятий, в частности по той причине, что в аксиоматиках не определены элементы множеств.
Теория понятий не исключает аксиоматические игры, но большого смысла в них не видит.
Ещё одним принципиальным отличием теории множеств Кантора от аксиоматической теории множеств является то, что у Кантора множества пополняемы, а в аксиоматической теории множеств появление новых элементов исключено. Теорию семантических понятий можно рассматривать как основание информатики. В целом Кантор, предлагая определение множеств, предлагает иную не аксиоматическую, а осмысливаемую математику. Она во многом отличается от аксиоматической математики, она зиждется на мышлении и определении понятия множества. Главное, основное отличие этой, семантической математики заключается в том, что в ней имеются семантические определения новых сущностей.
Рассматриваемая работа, рассматриваемая как единое целое, представляет собой неформальное описание, определение семантической теории. Использование алгоритмического мета–языка ALEPH, предлагаемого в этой работе, позволяет дать формальное определение этой теории. Мета-язык ALEPH в полном объёме использует возможности семантического полиморфизма данных Мета-язык позволяет определять и другие теории. В частности в соответствие с этой концепцией теория понятий допускает и предполагает определения последующих версий языка и тем самым и самой теории понятий. ALEPH есть алгоритмический метаязык основанный на использовании семантических определений. Точнее на определениях семантики.
Во всяком случае, использование теории понятий более целесообразно ибо теория понятий не исключает использования различных аксиоматик.
В заключение можно отметить, что если предметы созерцания в определении множества измеримы и независимы, то определение множества представляет обычную математическую функцию от многих переменных. Теория понятий представляет технологию построения математических функций от многих переменных.
Любая поддержка семантических исследований, не исключая критическую и инвестиционную, принимается с благодарностью. Актуальная версия теории понятий доступна по Адресу:
*****@***com
12 Литература
1. Гильберт???? снования математики. Пер. с нем. под ред. . Том I. Логические исчисления и формализация...
2. И. Кант Критика чистого разума. 1781.
3. Г. Кантор теория множеств. Москва «НАУКА» 1955
4. Chomsky Syntactic structures 1957
5. Основы теории категорий «НАУКА» 1974
6. ФРЕГЕ Frege «Die Grundelagen der Arifmetics» Breslau 1884
7. Алгоритмический метаязык АЛМЕТ // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1969, N6, с.1419-1423
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 |
