Вычислить пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.

.

При числитель и знаменатель дроби обращаются в 0, т. е. является корнем многочленов, образующих дробь. Следовательно, при имеем неопределенность типа . Раскроем её.

Разложим оба многочлена на множители:

.

Теперь искомый предел можно переписать следующим образом:

При всех значениях , в том числе и в окрестности т. , отношение этих многочленов равно а в т. функция не определена.

.

Вычислить предел .

При получаем неопределенность типа . Распишем числитель дроби, как разность кубов  :

.

При   ,  ,  a  , поэтому можем сделать следующие выкладки:

т. к.    – это  первый замечательный предел.

Задание № 3.

Найти производные следующих функций


1.

а) ,

б).

2.

а) ,

б) .

3.

а) ,

б) .

4.

а) ,

б) .

5.

а) ,

б) .

6.

а) ,

б) .

7.

а) ,

б) .

8.

а) ,

б) .

9.

а) ,

б) .

10.

а) ,

б) .

Пример решения задачи из задания №3.

Воспользуемся формулами для производных основных элементарных функций и следующими правилами для дифференцируемых функций и :

; ; ; ; .(при условии существования производной в соответствующей точке).

а) Найти производную функции .

Сначала применим правило дифференцирования частного (IV):

Первое слагаемое в числителе содержит производную от произведения. Найдём её по правилу III:

.

Теперь воспользуемся формулой дифференцирования степенной функции () и правилами I и II. Производную от найдём по правилу V: сложную функцию представим в виде композиции функций Тогда .

.

Упростив выражение, окончательно получим .

б) Найти производную функции .

По правилу II: .

Сложную функцию представим в виде композиции функций  . Тогда

Аналогично сложную функцию представим в виде композиции функций  . Тогда

Окончательно получим

Задание № 4.

Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить ее график.

1.

6.

2.

7

3.

8.

4.

9.

5.

10.



Пример решения задачи из задания №4.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5