Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию и построить ее график.

ООФ.        т. е.  . Таким образом, в точках  функция терпит разрыв. ОЗФ. Так как , то заданная функция принимает только положительные значения. Кроме того, т. к. точка    не принадлежит ООФ, то функция не обращается в нуль ни в одной точке. Следовательно,  , т. е. . Из сказанного в п. 2 следует, что график функции не пересекает ни ось Оx, ни ось Оy. Функция – четная, т. к.    вследствие того, что в выражение      входит только во второй степени.

Поэтому график функции симметричен относительно оси Оy.    Нам достаточно исследовать    и построить ее график только для положительных  , т. е. для ,  а затем зеркально отразить результаты исследования и полученный график для  .

Посмотрим, как ведет себя функция на концах интервалов, определяющих область определения.

Разделим обе части дроби на :

  т. к.  .

  т. к.  Т. к. , то прямая    является вертикальной асимптотой графика функции. Аналогично, и  – тоже вертикальная асимптота.

Посмотрим, нет ли у функции наклонных асимптот. Уравнение наклонной асимптоты к графику функции    имеет вид  , где

  а  .

Вычислим  :

разделим числитель и знаменатель дроби на  :

  т. к. 

Получили, что  .  Теперь найдем  :

разделим обе части дроби на :

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

.

Поэтому уравнение правой наклонной асимптоты будет 

,

а левой наклонной асимптоты (вследствие симметричности) –

.

Так как заданная функция представлена в виде сложной функции, записанной с помощью элементарных функций (дробная, степенная), каждая из которых непрерывна в своей области определения, то и исследуемая функция будет непрерывна в «общей» области определения .

А в точках    функция терпит разрывы, т. к. там она не определена. И разрывы эти 2-го рода, т. к.  .

Исследуем функцию на монотонность.

Сначала найдем ее производную.

Найдем теперь стационарные точки функции, т. е. те значения  ,  при которых  Это ,  . Точка   не входит в область определения функции, а точки являются точками возможного экстремума функции.

Исследуем поведение функции вокруг точки  :

при    т. е. при      функция возрастает;

при    т. е. при      функция убывает.

Следовательно, в т. функция достигает своего минимума:

.

Направление вогнутости графика функции.

Найдем вторую производную функции.

.

Так как нигде в ноль не обращается, то точек перегиба у графика функции нет.

При     всюду в этой области функция выпукла вниз. И тем самым еще раз подтверждаем, что в т.    функция достигает своего минимума, а максимума она не достигает нигде, т. к. ни при каких    не будет.


Теперь по результатам исследования рисуем график заданной функции.

Задание № 5.

Найти неопределенный интеграл.


1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 


Пример решения задачи из задания № 5.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5