Контрольная работа по дисциплине «Математический анализ» для студентов 1-го курса (бакалавров заочного отделения), Чита, 2014г (стр. 4 )

Пример 1:

Используя свойства интеграла, представим данный интеграл как сумму интегралов:

.

Второй из них является табличным:

А в первом интеграле сделаем замену переменных:

Таким образом:

.

Запишем окончательный ответ:

.

Пример 2: .

Представим данный интеграл как сумму интегралов:

.

Второй из них является табличным:

.

А в первом интеграле сделаем замену переменных:.

Таким образом:

Запишем окончательный ответ:

Задание № 6.

Вычислить определенные интегралы.

1.		6.
2.		7
3.		8.
4.		9.
5.		10.

Пример решения задачи из задания № 6.

Вычислить определённый интеграл.

Сначала вычислим неопределённый интеграл. Воспользуемся формулой интегрирования по частям:

В качестве u(x) возьмем u(x)=x2-5x+6, тогда dv=sin3xdx. Найдем du и v:

du=(2x-5)dv, и .

Поэтому .

Для вычисления интеграла вновь используем формулу интегрирования по частям. Теперь в качестве u возьмем u=2x-5, а dv=cos3xdx. Тогда du=2dx, .

Получаем:

Подставляем в предыдущее выражение и получаем ответ:

Теперь по формуле Ньютона-Лейбница получаем:

.

Задание № 7.

Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Пример решения задачи из задания № 7.

В некоторых ситуациях обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка легко решаются с помощью приема, который мы будем называть методом разделения переменных. Поясним суть приема на примере. Пусть дано уравнение:

Постараемся преобразовать уравнение так, чтобы в левой его части было выражение, содержащее только переменную x, а в правой неизвестную функцию y.

Если мы умножим формально обе части равенства на dx, то получим выражения, которые можно трактовать как дифференциалы некоторых функций, зависящих только от x и от y:

Равенство дифференциалов предполагает, что сами функции отличаются друг от друга на некоторую константу С, т. е.

Окончательно получаем

С.

Задание № 8.

Найти общее решение дифференциального уравнения.

1.                        2.

3.                                4.

5.                        6.

7.                8.

9.                                10.

Пример решения задачи из задания № 8.

Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение.

Имеем линейное неоднородное дифференциальное уравнение 3-го порядка с постоянными коэффициентами (ЛНДУ). Его общее решение можно представить в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:

,

где - общее решение соответствующего однородного уравнения (ЛОДУ), - частное решение данного ЛНДУ. В нашем случае ЛОДУ имеет вид:

Для его решения составим характеристическое уравнение:

Имеем корни , и , значит

Далее находим частное решение исходного уравнения. Правая часть дифференциального уравнения является многочленом, поэтому решение ищем в виде , где n – степень многочлена, r – кратность корня k=0 В нашем случае , r = 1, поэтому .