Гетеромагнитная микроэлектроника (стр. 13 )

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОКОН ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ КОЛЕБАНИЙ

В ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ С УЧЕТОМ ВОЗВРАТОВ ПУАНКАРЕ

,

Саратовский национальный исследовательский

государственный университет имени

Россия, 410012, Саратов, Астраханская, 83

E-mail: *****@***ru

Исследовано использование специальных окон в периодограммном способе спектрального оценивания, где интервалы разбиений временной реализации сигнала выбираются с учетом минимизации погрешностей. Результаты сравнения с классическим периодограммным методом спектрального оценивания свидетельствуют об эффективности использования окон.

Ключевые слова: периодограмма, спектральная плотность мощности, окна, возвраты Пуанкаре, динамическая система.

The Special Windows for Spectrum Analysis Using Poincarй Returns

V. S. Chesakov, L. S. Sotov

The special windows is investigated in the periodogram method for computing the power spectral density of the generated signals in which time intervals of series are chosen to minimize the spectral leakage in the estimation. Results of comparison with a classical periodogram method for computing the power spectral density showed the efficiency of the special windows.

Key words: periodogram, power spectral density, window, Poincarй returns, dynamical system.

Классический периодограммнный способ спектрального оценивания часто используется в прикладных задачах. При этом имеющаяся реализация длительностью Тp разбивается на некоторое число интервалов М, на каждом из которых сигнал подвергается быстрому преобразованию Фурье (БПФ). Затем производят усреднение полученных спектральных плотностей по всем М интервалам. Чем больше М, тем меньше дисперсия оценки спектральной плотности, но хуже разрешающая способность. При такой процедуре уровни сигнала на концах интервалов разбиения различаются, т. е. периодическое продолжение функции имеет разрывы, что существенно «портит» вычисляемый спектр. В частности, в окрестности каждого спектрального пика (если таковые имеются) появляются медленно спадающие «хвосты» (рис. 1).

Для устранения этого эффекта обычно выбирают большие длины БПФ и применяют предварительную обработку временных реализаций с использованием теории «окон» [1].

В то же время на выбор длины БПФ оказывает влияние ширина спектра, так как частота временной дискретизации сигнала должна быть не ниже частоты Найквиста fn = N/(2Ti), где N – длина преобразования Фурье, а  Ti – длительность i-го интервала разбиения временного интервала Тр.

Рис. 1. Распределение спектральной плотности мощности (СПМ) квазипериодических колебаний с четырьмя независимыми частотами 0.1, 0.12333, 0.435, 0.674: а – использование окна Хемминга и возвратов Пуанкаре; б – использование прямоугольного окна и возвратов Пуанкаре

В работе [2] предложен периодограммный способ спектрального оценивания, в котором интервалы разбиений временной реализации сигнала выбираются с учетом возвратов Пуанкаре, что позволяет существенно снизить погрешность спектрального оценивания, анализируя сигнал на относительно коротких интервалах разбиений. В предложенном в работе [2] способе спектрального оценивания исследуется сигнал f(t), производимый динамической системой. Известно, что для изображающей точки, фиксированной на аттракторе системы в момент t = 0, окруженной окрестностью O(е), существует время t такое, при котором изображающая точка попадет в эту окрестность (возвраты Пуанкаре) [3, 4]. В общем случае нерегулярной функции f(t) для конечного времени t точного возврата может не быть, поэтому аналогично алгоритму, предложенному в [5], зададим время Tm, на котором будем искать наилучший возврат, разбивая исследуемую функцию f(t) на отрезки временных реализаций:

.

(1)

Рассмотрим значение интеграла . Если максимальная частота f(t) не превышает частоту Найквиста fn = N/(2Ti), то интеграл вычисляем точно, если функция периодическая, с помощью БПФ при w=2р∙n/Ti, n = 0, 1, 2, ...., и с ошибкой порядка еm для нерегулярных колебаний, где еm – наилучший возврат на временном интервале Tm.

Таким образом, после первой итерации i = 1 имеем дискретный ряд гармонических составляющих C1n. Далее если сигнал стохастический, то на втором шаге i = 2 время наилучшего возврата T2 отличается от предыдущего и сетка частот исследуемой функции сгущается. При этом полученный уже на двух итерациях спектр не эквидистантный. В предельном случае при i→∞ получим непрерывный спектр нерегулярной функции f(t). На практике следует задать сетку частот, необходимую для построения спектра, и закончить итерации по i при попадании достаточного числа спектральных составляющих в каждый частотный интервал.

Так как для нерегулярных колебаний на каждой итерации по i длины преобразования Фурье различаются, спектры рассчитываются на разных сетках частот, и при усреднении внутри заданных частотных интервалов необходимо суммировать квадраты амплитуд.

По определению коэффициенты спектрального ряда рассчитываются следующим образом:

.

В свою очередь,

.

Пусть измерение спектральной плотности мощности (СПМ) осуществляется совокупностью L фильтров с прямоугольной передаточной характеристикой K(w) шириной ∆w, равной выбранному для построения спектра частотному интервалу. При этом искомая спектральная мощность в частотном интервале ∆wk пропорциональна среднеквадратичному отклику фильтра Zik, который связан с коэффициентами и передаточной характеристикой выражением

,

(2)

где k – номер фильтра; l – число спектральных составляющих, рассчитанных за время Ti и попавших в частотный интервал пропускания k-го фильтра ∆wk. Равенство (2) имеет место вследствие того, что передаточная характеристика используемых фильтров прямоугольная.

Тогда средняя СПМ в частотном интервале ∆wk за полное время Tp определяется выражением

.

(3)

Таким образом, процедуру расчета спектра можно представить следующим образом.

Восстанавливаем фазовое пространство системы, используя алгоритм Паккарда–Такенса, изображающая точка в котором задается вектором X(t) с компонентами, где ф– временной интервал, равный 7–10 интервалам дискретизации сигнала f(t). Исключаем (при необходимости) переходной процесс в системе, отбрасывая часть временной реализации. Фиксируем изображающую точку X(tr) на аттракторе в той области, где скорость движения изображающей точки минимальна. Ищем время наилучшего возврата ti на i-ом шаге (i = 1,…, M), за время Tm, заданное перед началом расчета. Разбиваем временной интервал Ti = ti–ti–1 на 2k отрезков, число которых наиболее близко к числу в начальном разбиении временной реализации сигнала f(t), для того чтобы применить быстрое преобразование Фурье. При использовании алгоритма Винограда разбиваем временной интервал Ti на число точек, равное произведению взаимно простых множителей. Восстанавливаем значения функции f(t) в новом разбиении, используя аппроксимацию полиномом третьей степени. После преобразования Фурье для найденной временной реализации усредняем полученные результаты на заданной сетке частот по формуле (3). Возвращаемся к п. 4, если сумма времен не превышает полное время анализа Tp, заданное перед началом расчетов, в противном случае заканчиваем счет.

Описанный выше способ при исследовании моделей генераторов [6, 7] показал, что использование возвратов Пуанкаре в спектральном оценивании позволяет получить точные результаты по значительно более коротким временным реализациям. В системах, исследованных в [8, 9], где реконструкция фазового пространства затруднена, или при исследовании комбинаторных генераторов [10, 11] данный способ не дает существенных преимуществ.

Результаты, представленные в работе [2], были получены для систем с низкой (менее четырех) размерностью фазового пространства. При увеличении этой размерности резко возрастает среднее время возврата при заданной точности, вследствие этого уменьшается эффективность описанного алгоритма.

Для исследования эффектов, связанных с применением специальных окон в системе с размерностью фазового пространства более четырех, использовались квазигармонические колебания с четырьмя частотами. Такие колебания могут возникать, например, в генераторах, исследованных в работах [12, 13]. Результаты расчета c использованием пакета программ [14, 15] представлены на рис. 1. Здесь изображены распределения СПМ квазипериодических колебаний с четырьмя независимыми безразмерными частотами, равными 0.1, 0.12333, 0.435, 0.674. Составляющие с частотами 0.1, 0.435, 0.674 имели интенсивность на 20 дБ меньше, чем интенсивность колебания с частотой 0.12333. Расчет проводился с использованием окна Хемминга и учетом возвратов Пуанкаре (см. рис 1, а) и с использованием прямоугольного окна и учетом возвратов Пуанкаре (см. рис 1, б). Длины обрабатываемых временных реализаций в безразмерных величинах выбраны примерно равными Ti=1005. Из рис. 1 следует, что даже при большом времени анализа в окрестности спектральных пиков появляются медленно спадающие «хвосты».