В последующие века в связи с развитием торговли и ремесел развивается и геометрия, содержание которой значительно усложняется. Перед геометрией возникли новые задачи, связанные с измерением емкости сосудов, вычислением объемов различных тел, вообще задачи, связанные с формой, размерами и взаимным расположением различных предметов.
Большая роль в дальнейшем развитии геометрии принадлежит древнегреческим ученым (Фалес, Демокрит, Евдокс, Пифагор, Евклид и др.), которые в значительной степени развили геометрическое учение египтян и наконец в III веке до н. э. придали ей современную форму и содержание. Особенно большая роль в истории развития геометрии принадлежит древнегреческому ученому Евклиду, который в III веке до н. э. обобщил и собрал воедино разрозненные геометрические сведения своих современников и предшественников, дополнив их своими собственными исследованиями, и дал их систематическое изложение в своих тринадцати геометрических книгах, известных под общим названием «Начала».
«Начала» Евклида являются первой удачной попыткой научного построения геометрии. Насколько большой авторитет имели и имеют теперь «Начала» Евклида, видно из того, что вся 'последующая учебная литература по элементарной геометрии или дословно копирует Евклидa, или написана под большим его влиянием.
Высокий уровень развития современной техники ставит перед геометрией все новые и новые задачи. В настоящее время геометрия определяется как часть математики, изучающая пространственную форму, размеры и взаимное расположение фигур.
ИСТОРИЯ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ
Первые задачи на построение возникли в глубокой древности. Родиной этих задач можно считать древнюю Грецию, где впервые создалась геометрическая теория в систематическом изложении. Древнегреческие ученые считали построение геометрическим, если оно выполнялось при помощи только циркуля и линейки. Если же в процессе построения, кроме циркуля и линейки, использовались другие чертежные инструменты, то построение не считалось геометрическим. Древние греки стремились к геометрическим построениям, выполняемым только циркулем и линейкой, и считали их идеалом в геометрии.
Уже в древности греческие математики встретились с тремя задачами на построение, которые не поддавались решению.
Задача об удвоении куба. Требуется построить сторону куба, который но объему был бы в два раза больше данного куба. Задача о трисекции угла. Требуется произвольный угол разделить на три равные части. Задача о квадратуре круга. Требуется построить квадрат, площадь которого равнялась бы данному кругу.Возникновение этих задач связано с целым рядом легенд. Любопытны легенды, связанные с первой задачей. Приводим одну из них.
Царь Минос велел воздвигнуть памятник своему сыну Главку. Архитекторы придали памятнику форму куба, ребро которого равнялось 100 локтям. Но Минос нашел этот памятник слишком малым и приказал его удвоить. Чувствуя свое бессилие в решении поставленной задачи, архитекторы обратились за помощью к ученым-геометрам, но и они не могли решить указанной задачи.
В настоящее время выяснено, что эти задачи при помощи циркуля и линейки нельзя решить, для их решения требуются еще и другие вспомогательные средства.
Большое место задачам на построение отводится в «Началах» Евклида, где существование фигур доказывается их построением при помощи циркуля и. линейки. В «Началах» Евклида мы находим почти все задачи на построение, которые изучаются в настоящее время в школе.
ИСТОРИЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДЕЙ РЯМОЛИНЕЙНЫХ ФИГУР
Остановимся коротко на истории вычисления площадей прямолинейных фигур (прямоугольника, треугольника, параллелограмма, трапеции). Понятия площадей этих фигур являются самыми древними в истории развития геометрической мысли. Еще в XIX веке до и. э, вавилоняне умели правильно вычислять площади прямоугольников, трапеций и треугольников. Этим искусством владели и египтяне, они в XVII веке до н. э. совершенно правильно вычисляли площадь прямоугольника. При вычислении площади равнобедренного треугольника египтяне пользовались приближенной формулой. Для этого они, брали половину произведения основания на боковую сторону. Площадь трапеции египтяне также вычисляли приближенно. При вычислении площади равнобедренной трапеции они, брали произведение полусуммы оснований на боковую сторону. Ясно, что эта формула давала совершенно правильный результат только в том случае, гели одна из боковых сторон была перпендикулярной основанию.
Задача на вычисление площади трапеции имеется в папирусе Райнда. Приводим ее.
«Если тебе дан участок в поле с боковой стороной в 20 хет, с основаниями в 6 хет и в 4 хет, то какова его площадь?»
Эта задача решается там следующим образом:
1 /2 ·(4 + 6)·20= 100.
ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ АКСИОМ, ТЕОРЕМ И ОПРЕДЕЛЕНИЙ
Аксиомой в геометрии, как известно, называется исходное утверждение, принимаемое без доказательства, проверенное многовековым опытом. Всякое же утверждение, которое выводится при помощи рассуждений из аксиом, называется теоремой. Само рассуждение, с помощью которого устанавливается правильность теоремы, называется доказательством теоремы. «Теорема» — греческое слово, означает рассматриваю, обдумываю.
Аксиомы и теоремы впервые в науку ввели древнегреческие ученые. Ими широко пользовались в своих научных трудах знаменитый Архимед (III в. до н. э.) и в своих «Началах», представляющих систематическое изложение геометрии в 13 книгах, гениальный Евклид (III в. до н, э.).
Евклид жил в III веке до н. э. По приглашению царя Птолемея I он в Александрии читал лекции по геометрии. По свидетельству историка математики V века н. э. Прокла, когда царь Птолемей I обратился к Евклиду с просьбой указать более легкие и короткие пути для изучения геометрии, Евклид ответил: «К геометрии нет царских путей!» Рассказывают также, что когда один из учеников спросил Евклида, какую пользу принесет ему геометрия, - Евклид будто бы позвал своего раба и сказал ему: «Дай ему три обола, он хочет, чтобы геометрия приносила ему прибыль».
Некоторые аксиомы Евклид называл постулатами (требованиями). Например, самый первый постулат «Начал» Евклид формулировал так: «Требуется, чтобы между каждыми двумя точками можно было провести прямую».
КРАТКАЯ БИОГРАФИЯ АРХИМЕДА (287—212 гг. до н. э.)
О жизни Архимеда известны только отрывочные сведения, которые дошли до нас благодаря древним писателям Цицерону, Плутарху и другим. Из их работ узнаем, что Архимед родился в 287 году до н. э. в Сицилии и на 75 году жизни был убит римским воином при взятии римлянами города Сиракуз в 212 году до н. э. Жизнь Архимеда овеяна легендарной славой. Ниже приводим несколько легенд об Архимеде.
Легенда первая. Рассказывают, что Архимед, погруженный в математические исследования, забывал даже о еде. Об этом ему всегда напоминали слуги. Сидя, например, в ванне, он забывал, где находится, и чертил геометрические фигуры на своем теле, намазанном маслом. В этом случае слугам приходилось применять силу к своему господину и насильно выводить его из бани.
Легенда вторая. Цицерон так описывает смерть Архимеда. Во время взятия города - Сиракуз Архимед сидел на площади и посохом чертил на земле геометрические фигуры. Погруженный в созерцание своих чертежей, решая какую-то глубокомысленную задачу, он не заметил, как ворвались вражеские войска в осажденный город. Архимед был убит римским воином, которого он просил только об одном: «Не трогай чертежей!»
Другие историки, например Зонарас (XII в.), утверждают, что Архимед при этом воскликнул: «Бей по голове, но не по чертежу!»
Легенда третья. Сиракузский царь Гиерон заказал золотых дел мастеру корону и дал ему определенное количество золота. Мастер выполнил заказ и при этом присвоил себе часть царского золота, заменив его равным по весу серебром. Царь заподозрил мастера в нечестности и обратился к Архимеду с просьбой определить вес украденного золота.
Ключ к решению поставленной задачи Архимед нашел сидя в ванне и так этому обрадовался, что выбежал на улицу совершенно нагим с криком: «Эврика! Эврика!» (Я нашел! Я нашел!). Оказывается, сидя в ванне, Архимед открыл известный закон о погружении твердых тел в жидкость, который носит название «закона Архимеда».
Легенда четвертая. Архимед в течение двух лет при помощи своих машин с успехом защищал Сиракузы от мощной римской армии, которой командовал Марк Клавдии Марцелл, один из самых крупных военачальников того времени. Вот в каких словах передает Плутарх взятие города Сиракуз римлянами.
«Марцелл вполне полагался на обилие и блеск своего вооружения и на собственную свою славу. Но все оказалось беспомощным против Архимеда и его машин…
Архимед был родственником умершего царя Гиерона. В свое время Архимед писал Гиерону, что небольшой силой возможно привести в движение сколь угодно большую тяжесть; более того, вполне полагаясь на убедительность своих доказательств, он утверждал даже, что был бы в состоянии привести в движение самую Землю, если бы существовала другая, на которую он мог бы стать («Дай, мне где стать, и я сдвину Землю»). Гиерон был этим удивлен и предложил Архимеду показать на деле, как возможно большую тяжесть привести в движение малой силой. Архимед осуществил это над грузовым трехмачтовым судном, которое, казалось, могло вытащить на берег только большое число людей. Архимед велел посадить на судно множество людей и нагрузить его большим грузом. Поместившись затем в некотором отдалении на берегу, он без всякого напряжения, очень спокойно нажимая собственной рукой на конец полиспаста, легко, не нарушая равновесия, придвинул судно. Гиерон был этим в высшей степени поражен и, убедившись в высоком значении этого искусства, склонил Архимеда соорудить машины как для обороны, так и для нападения при любой осаде...
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 |
