10. Предмет и метод аналитической геометрии. Понятие уравнений линии и поверхности. Полярная система координат, ее связь с декартовыми координатами. Преобразование координат: перенос начала координат и поворот осей.
11. Канонические и параметрические уравнения прямой. Уравнение прямой, проходящей через 2-е данные точки. Уравнение прямой, проходящей на плоскости через точку в данном направлении. Пучок прямых. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между 2-ми прямыми на плоскости.
12. Общее уравнение прямой на плоскости и его исследование. Нормальное уравнение прямой. Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду. Расстояние от точки до прямой.
13. Общее уравнение плоскости и его исследование. Нормальное уравнение плоскости. Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку. Связка плоскостей.
14. Угол между плоскостями. Пучок плоскостей. Расстояние от точки до плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через 3-и точки. Прямая как линия пересечения плоскостей.
15. Угол между прямой и плоскостью. Пересечение прямой с плоскостью. Кривые 2-го порядка: эллипс, гипербола, равносторонняя гипербола.
16. Дробно-линейная функция и ее график. Приложение квадратичной формы в пространстве и на плоскости Уравнение поверхности вращения. Поверхности вращения 2-го порядка.
17. Понятие n-мерного пространства. Линейные операции над векторами, их свойства. Длина вектора. Расстояние между двумя точками. Скалярное произведение. Определение n-мерного евклидова пространства. Неравенство Буняковского и Минковского. Угол между векторами.
18. Базис в n-мерном координатном пространстве. Ортогональные и ортонормированные базисы. Разложение вектора по ортонормированному базису и новым координатам. Преобразование прямоугольных координат на плоскости. Матрица линейного оператора в новой системе координат.
19. Цилиндрическая и коническая поверхности. Канонические уравнения поверхностей 2-го порядка. Изучение вида поверхности методом сечений. Общее уравнение поверхности 2-го порядка. Приложение квадратичных форм в пространстве.
III Введение в анализ - 10 ч. [3, 7, 9, 14]
20. Абсолютная величина и ее свойства. Переменные и постоянные величины. Понятие функции одной переменной: область определения функции. Способы задания функции. Обратная функция и ее график. Сложная функция. Предел числовой последовательности.
21. Предел функции. Односторонние пределы. Признаки существования пределов. Бесконечно малые и бесконечно большие, связь между ними, их свойства.
22. Сравнение бесконечно малых. Связь между переменной и ее пределом. Свойства пределов.
23. Первый и второй замечательные пределы. Экспонента. Натуральные логарифмы. Понятие о гиперболических функциях.
24. Непрерывность функции в точке и на отрезке. Основные свойства непрерывных функций. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва функции и их классификация.
IY Дифференциальное исчисление функции одной переменной и его приложения - 20 ч. [3, 7, 9, 14]
25. Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Непрерывность и дифференцируемость функции. Правило дифференцирования функции
26. Производная сложной и обратной функции. Формулы дифференцирования. Таблица производных.
27. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически. Производные высших порядков. Формула Лейбница.
28. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Инвариантность формы дифференциала. Дифференциалы высших порядков. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
29. Теоремы Ролля, Коши и Лагранжа. Правило Лопиталя
30. Формула Тейлора. Условия возрастания и убывания функции.
31. Экстремум функции, его признаки. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезках.
32. Выпуклость функции, точки перегиба. Асимптоты кривых. Схема построения графика функций.
33. Векторная функция скалярного аргумента. Производная векторной функции, ее свойства, геометрический и механический смысл.
34. Кривизна плоской кривой. Центр и круг Кривизны. Эволюта и эвольвента. Кривизна пространственной кривой и сопровождающий трехгранник.
2 семестр – 50 часов
YI Неопределенный интеграл - 8 ч. [3, 7, 9, 14]
1. Первообразная и ее свойства. Таблица основных интегралов. Непосредственное интегрирование.
2. Интегрирование по частям и подстановкой. Многочлен в комплексной области. Теорема Безу. Условия тождественности 2-х многочленов. Корни многочлена. Основная теорема алгебры (без доказательства) Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители.
3. Интегрирование простейших дробей и рациональных дробей.
4. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции. Интегрирование некоторых иррациональных выражений. Интегралы, не берущиеся в элементарных функциях.
YII Определенный интеграл - 6 ч. [3, 7, 9, 14]
5. Определенный интеграл как предел интегральных сумм, его основные свойства. Производная интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница.
6. Вычисление определенного интеграла: интегрирование по частям и подстановкой. Интеграл от четных и нечетных функций по симметричному отрезку. Несобственные интегралы. Понятие гамма - и бета - функций.
7. Вычисление площадей в декартовых и полярных координатах. Дифференциал дуги кривой и вычисление длин дуг.
8. Вычисление объемов тел, площадей поверхности вращения, приложение к механике.
YIII Дифференциальные уравнения -12 ч. [3, 7, 10, 14]
9. Задача, приводящая к понятию дифференциального уравнения. Основные понятия и определения. Задача Коши. Формулировка теоремы существования и единственности решения дифференциального уравнения 1-го порядка. Геометрический смысл дифференциального уравнения 1-го порядка, изоклины. Уравнения с разделяющимися переменными.
10. Однородные уравнения. Интегрирование линейных уравнений путем замены переменной. Уравнение Бернулли.
11. Уравнения 2-го порядка и их решение путем понижения степени. Фундаментальная система решений, вронскиан.
12. Теорема о частных решениях. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами, характеристическое уравнение.
13. Уравнение с правой частью вида многочлена, экспоненты, гармоники. Метод вариации произвольных постоянных.
14. Нормальная система уравнений 1-го порядка. Решение нормальной системы путем приведения к одному уравнению высшего порядка и обратная задача.
IX Функции нескольких переменных – 8 ч. [3, 7, 9, 14]
15. Функции 2-х переменных, область определения, геометрический смысл, линии уровня. Функции любого числа переменных. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность функции нескольких переменных. Свойство непрерывной функции в замкнутой области (без доказательства). Точки, линии, поверхности разрыва.
16. Частные производные, их геометрический смысл. Частные производные высших порядков. Теорема о перестановке порядка дифференцирования.
17. Полный дифференциал функции 2-х переменных. Дифференцирование сложной функции. Неявные функции и их дифференцирование.
18. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности. Абсолютный экстремум. Условный экстремум функции 2-х переменных. Наибольшее и наименьшее значение функции, заданной в области, и на границе.
X Кратные интегралы - 14 ч. -[3, 7, 10, 14]
19. Задача, приводящая к понятию двойного интеграла. Определение двойного интеграла, и его основные свойства. Геометрический смысл двойного интеграла. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.
20. Замена переменной в двойном интеграле. Приложения двойного интеграла.
21. Тройной интеграл, определение, физический смысл, свойства, вычисление.
22. Замена переменной в тройном интеграле. Цилиндрические и сферические координаты.
23. Приложения тройного интеграла.
24. Интеграл, зависящий от параметра. Его непрерывность и дифференцируемость. Понятие несобственного кратного интеграла. Сходимость и абсолютная сходимость. Интеграл Пуассона.
25. Понятие несобственного кратного интеграла, зависящего от параметра. Дифференцируемость, интегрируемость и равномерная сходимость. Сходимость интеграла, определяющего гамма-функцию. Применение к вычислению некоторых интегралов.
3 семестр - 34 ч.
XII Криволинейный и поверхностный интеграл -8ч.[ 3, 7, 10, 14]
1. Криволинейный интеграл. Криволинейный интеграл по дуге (1-го рода). Определение и вычисление. Интеграл от вектора вдоль кривой (2-го рода). Определение и свойства.
2. Формула Грина. Поверхностный интеграл. Понятие интеграла по поверхности 1-го рода. Его вычисление.
3. Ориентация поверхности. Система координат и ориентация поверхности. Понятие интеграла по поверхности 2-го рода. Его вычисление.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 |
