Компетентностный подход в математике (стр. 4 )

1)На  столе  лежат  6  различных  учебников,  среди  которых -  один  по  математике. Рассеянный  ученик  положил,  не  глядя  в  портфель  2  учебника.  Какова  вероятность  того,  что  учебник  математики  попадет  в  его  портфель?

Решение: 2/6 = 1/3

№ 2: (вероятностная задача). Из  чисел  3, 4, 5, 6, 7  случайно  выбраны  два.  Какова  вероятность  того, что их  произведение  имеет  ровно  4  делителя?

Решение: 5 * 2 = 10, 3 числа, составленные из нечетных цифр, 3/10.

№3: (комбинаторная задача). Все  помнят  слова  из  басни  Крылова  «Квартет»:  Проказница  мартышка,  осёл, козёл,  да  косолапый  мишка  затеяли  сыграть  квартет.… Четыре  горе-музыканта  долго  пересаживались  с  места  на  место  в  ходе  этого  «творческого  поиска».  Определите  число  возможных  перестановок. 

Решение: 4 = 1 * 2 * 3 * 4 = 24.

3. Решение задач

Задача 1 (на увеличение).  Фермер  продал выращенный урожай.  Полученные  20000 рублей  он  положил  в  банк  под  20%  годовых.  Сколько  денег  будет  на  счету  через  3  года?

1 способ:

1) 20000 + 20000 * 0,2 = 20000 + 4000 = 24000 (руб.) через 1 год.
2) 24000 + 24000 * 0,2 = 24000 + 4800 = 28800 (руб.) через 2 года.
3) 28800 + 28800 * 0,2 = 28800 + 5760 = 34560 (руб.) через 3 года.

Ответ: 34560 рублей будет на счету в банке через три года.

2 способ: (применение формулы сложного процента)

Вопросы:

В каких случаях можно применять формулу сложного процента? (Когда увеличение числа на одну и ту же величину происходит многократно) Можно ли ответить на вопрос задачи, увеличив 20000 рублей не трижды, а один раз, но на 30%? (Нет)

Давайте проверим это, решив следующую задачу. Какая это задача? (На уменьшение)

Поступим следующим образом. Пусть ученики 1 варианта будут приказчиками 1 купца, а ученики 2 варианта приказчиками 2 купца. 1 вариант считает, какой будет цена товара после двойного понижения цены на 10%, а второй вариант – какой будет цена товара после снижения цены один раз, но на 20%.

Задача2:  Один купец  дважды  в  год  снижал  цену  товара  в  200 рублей на  10% каждый  раз.  Другой  купец  только  в конце  года  снизил  цену,  но  на  20%.  На  сколько  цена  товара  у  первого  купца  отличается  от  цены  товара  у  второго  купца  в  конце  года?

Решение: 1 купец:

1) 200 – 200 * 0,1 = 180 (руб.)
2) 180 – 180 * 0,1 = 162 (руб.)

2 купец:

1) 200 – 200 * 0,2 = 160 (руб.)
2) 162 – 160 = 2 (руб.)

Ответ: на 2 рубля отличается цена товара у первого купца от цены товара у второго.

*Задача3:  Ежегодно  количество  учащихся  в  школе  увеличивается  на  5%. Первоначально  количество  учащихся  составляло  750  человек.  Сколько  учащихся  обучалось  в  школе  через  два  года  после  её  открытия?

Составить выражение для решения задачи с применением сложного процента.

Решение:

Аn = А0(1 + p / 100)n.

А2 = 750(1 + 5 / 100)2 = 750 * 1,052 = 750 * 1,1025 = 826,875 ~ 827 (учеников).

Задача 4:  Автомобиль  прошёл  расстояние  от  А  до  В  со  скоростью  40 км/ч  а  обратно  со  скоростью  60 км/ч.  Какова  средняя  скорость  рейса?

Вопросы:

Что рассматривается при решении задач на движение? Один ученик решил эту задачу следующим образом: (40 + 60) : 2.
Что можно вычислить с помощью этого выражения? (Среднее арифметическое скоростей) Как можно найти среднюю скорость движения? (Нужно весь пройденный путь разделить на всё затраченное время) Чего “не хватает” в условии задачи для ответа на поставленный вопрос?

Обозначим путь от А до В через 1, тогда

Vср = (1 + 1) : ( 1/ 40 + 1 /60 ) = 2 : 5/120 = 240 : 5 = 48 (км/ч).

Ответ: 48 км/ч.

*Задача А: Собственная скорость  катера  8,5 км/ч. Катер плыл  4 часа по течению реки,  а затем  2 часа  против течения.  Чему  равна  скорость  течения реки,  если  всего катер  прошёл  57 км?

Пусть х км/ч – скорость течения реки, тогда:

	V, км/ч	T, ч	S, км
По течению	(8,5 + х)	4	4(8,5 + х) 57
Против течения	(8,5 – х)	2	2(8,5 – х)

Получим уравнение:

4(8,5 + х) + 2(8,5 – х) = 57,
34 + 4х + 17 – 2х = 57,
2х = 6,
х = 3.

Ответ: 3 км/ч скорость течения реки.

*Задача В:  От  пристаней  А  и В  по  реке,  скорость  течения  которой  равна  2  км/ч,  одновременно  вышли  навстречу  друг  другу  два  одинаковых  катера  и  встретились  через  7  часов.  Найдите  собственную  скорость  катеров,  если  известно,  что  расстояние  от  А  до  В  равно  347  км  и  катер,  идущий  по  течению,  сделал  в  пути  получасовую  остановку.

Пусть х км/ч – собственная скорость катеров, тогда:

	V, км/ч	Т, км/ч	S, км
От А до В(по течению)	(х + 2)	7 – Ѕ = 6 Ѕ	6 Ѕ(х + 2) 347
От В до А(против теч.)	(х – 2)	7	7(х – 2)

Получим уравнение:

13/2(х + 2) + 7(х – 2) = 347,
13(х + 2) + 14(х – 2) = 694,
13х + 26 + 14х – 28 = 694,
27х = 696,
х = 25 7/9.

Ответ: 25 7/9 км/ч собственная скорость катеров.

Итог урока

– Мы сегодня повторили решение задач на проценты, на движение. С поставленной задачей справились успешно.

Домашнее задание:

– Какие задачи по своей математической модели похожи на задачи на движение? Составить задачу на “работу”, красиво оформить текст и решение задачи.

(Приложение 3)

Тема урока: “Внешний угол треугольника. Свойство внешнего угла треугольника”.

Тип урока: урок усвоения новых знаний.

Цель урока: ввести понятие внешнего угла треугольника и закрепить его в процессе решения задач.

Задачи урока:

научить применять теоретический материал по изучаемой теме к решению задач; повышение информационной культуры учащихся; формирование навыков самостоятельного изучения материала с помощью средств  программного обеспечения.

Ход урока:

I. Организационный момент.

Учитель объявляет тему и задачи урока.

II. Повторение пройденного материала.

сформулировать теорему о сумме углов треугольника (вопрос к классу) устное решение задач по готовым чертежам.

Условия задач и чертежи к ним учитель заранее выписывает на доске.

По окончании решения задачи найденные градусные меры углов проставляются на чертеже.

Тест по теме “Сумма углов треугольника”.

Тест проводится в двух вариантах.

Учитель выдаёт листы с вопросами теста каждому ученику.

Ученики подчёркивают верный ответ.

Задания теста.

1 вариант.

1. Могут ли быть в треугольнике два прямых угла? а) да б) нет в) не знаю

2. Могут ли быть в треугольнике все углы острыми? а) да б) нет в) не знаю

3. Могут ли быть в треугольнике: один угол тупой, другой – прямой, третий – острый? А) да б) нет в) не знаю

4. Определить вид треугольника, если один его угол 40°, второй 100°.

а) равносторонний б) равнобедренный в) не знаю

5.

2 вариант.

1 Могут ли быть в треугольнике два тупых угла?

а) да б) нет в) не знаю Могут ли быть в треугольнике: один угол прямой, а два другие острые?

а) да б) нет в) не знаю

2. Могут ли быть в треугольнике: один угол острый, а два другие - прямые?

а) да б) нет в) не знаю

3. Определить вид треугольника, если один его угол 40°, а другой 50°.

а) равнобедренный б) прямоугольный в) не знаю

5.

III. Изучение нового материала.

Учитель проводит объяснение, обращаясь к чертежу задачи № 4 устных упражнений:  Рассмотрим чертёж задачи № 4. Дан треугольник FNA. Луч АР продолжает сторону FA треугольника FNA за вершину А. При этом получился угол NAP, смежный с углом FAN. Угол NAP называется внешним углом треугольника FNA при вершине А.  Если продолжить сторону NA треугольника за вершину А  (учитель выполняет построение), то угол FAB будет так же смежным для угла FAN. Угол FAB тоже внешний угол треугольника FNA при вершине А.

При каждой вершине треугольника, таким образом, можно построить два внешних угла.

Практическое задание.

Начертить произвольный треугольник АВС и построить по одному внешнему углу при каждой его вершине.