Справочник по математике для подготовки к ВОУД и кЕНТ ( 5-11класс) (стр. 2 )

  Процентом называется одна сотая часть.

Чтобы найти процент от числа, надо:

Выразить проценты в обыкновенных дробях; Умножить данное число на эту дробь.

  b = a* ,

  где b – число, соответствующее проценту данного числа; а – данное число;  р – численное значение процента.

5. Понятие пропорции. Решение пропорции.

  Частное двух чисел называют отношением этих чисел: a : b или .

  Равенство двух отношений называют пропорцией:

  a : b = с : d или

  средние члены

  крайние члены

  Основное свойство:

  Произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов.

Решение пропорции: 

  12 : 18 = х : 6  х =

    х = 4

* х = 12 * 6

6. Найти значение выражения при заданном значении букв.

  Выражения, содержащие буквы: (12+6а)-13b, а + b, 13(а + b) и т. п., называются буквенными выражениями.

  Решение буквенных выражений при заданном значении букв:

Упростить, выполнив данные действия; Решить, подставив значения букв.

Например:

(12+6а)-(1+13 b) ,a=5;b=3.

12+6а-1-13 b=11+6а-13 b;

11+6*5-13*3=11+30-39=2.

7. Правила раскрытия скобок и приведение подобных слагаемых.

  1. Раскрываем скобки, обращая внимание на знак перед скобкой: если «+», то при раскрытии скобок знаки не меняем, а если «», то при раскрытии скобок знаки меняем на противоположные;

  2. Приводим подобные. Слагаемые, не включающие буквы, называются свободными членами. При приведении подобных слагаемых, действия над свободными членами выполняются отдельно, а действия над слагаемыми содержащими буквы, в зависимости от букв, отдельно.

  Например:

12+(8а – 5) – (3b – 7а)+6b =12+8а – 5 – 3b + 7а+6b = 7+15a+3b

8. Формулы сокращенного умножения.

  Для любых чисел a и b справедливы тождества:

  (a + b)2=a2 + 2ab + b2,  (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3,

  (a – b)2=a2 – 2ab + b2,  a3 + b3 = (a + b)( a2 –  ab + b2),

  a2 – b2 = (a – b)(a + b),  a3 – b3 = (a – b)( a2 + ab + b2).

  (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3,  (а + b + c)2 = a2 + b2 + c2 +2ab +2bc+2ac

  Эти тождества называют формулами сокращенного умножения.

9. Решение линейных уравнении.

  Пусть () = f() – уравнение с одной переменной.

Тогда решением или корнем уравнения называется такое число 1, которое при подстановке в уравнение (1) = f(1) обращает его в верное равенство. Поэтому решить уравнение – это значит найти множество всех его корней.

  ax + b = 0 , где a, bR, a0  является линейным уравнением с одной переменной x.

  Алгоритм решения линейных уравнении

При решении линейного уравнения, числа содержащие переменную переносим в одну сторону, а числа, не содержащие переменную в другую (при перенесении знаки меняются на противоположные) ax = - b; Выполняем действия над числами; Линейное уравнение имеет только один корень х1= - .

Свойства:

a = b a + c = b + c a = b a – c = b – c a = b a a = b a = b an = bn a = b

10. Разложение квадратного трехчлена на множители.

  Уравнения вида  ах2 + bх + с = 0 (а 0) принято называть квадратными уравнениями. Многочлен ах2 + bх + с = 0, где а 0, называют обычно квадратным трехчленом.

Для разложения квадратного трехчлена нужно найти корни этого трехчлена.  А затем записать в виде  а(х – х1)(х – х2), где а – первый коэффициент; х1 – первый корень; х2- второй корень.

11.Избавление от иррациональности в знаменателе дроби.

  При избавлении от иррациональности в знаменателе, числитель и знаменатель умножаем на  выражение сопряженное знаменателю дроби:

12. Решение кубических уравнений.

  Уравнение вида aх3 + bх2 +bx + a = 0 (а 0) называется уравнением третей степени или кубическое уравнение.

  Преобразуем многочлен и получим равносильное уравнение

  ().

  Это уравнение равносильно совокупности уравнений:

  .

Таким образом, решением кубического уравнения является объединение решений линейного и квадратного уравнений.

13. Решение квадратных уравнений.

  Уравнение вида ах2 + bх + с = 0, где (а 0) решается с помощью дискриминанта.

Число D = b2 - 4 называется, дискриминантом квадратного уравнения.

  В зависимости от дискриминанта D возможны три случая.