Научное общество учащихся Математическое моделирование при решении многокритериальных задач на оптимизацию (стр. 1 )

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ

АДМИНИСТРАЦИИ ГОРОДА НИЖНЕГО НОВГОРОДА

МУНИЦИПАЛЬНОЕ  БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«ШКОЛА № 66»

Научное общество учащихся

Математическое моделирование при решении многокритериальных задач на оптимизацию.

  Выполнил: Огарков Александр

  ученик 9 «а» класса

  МБОУ «Школа №66»

                 Руководитель:

  учитель математики

Нижний Новгород

  2015-2016 год

Содержание :

Введение…………………………………...……………………………………….  3

ГЛАВА I  Теоретическая часть

1.1  Математическая модель объекта проектирования………………….  5

Характеристика типовых задач математического

моделирования и подходов к их решению………………………….  8

1.3  Компоненты принятия решений………………….………………….  11

1.4  Теория решения многокритериальной задачи с помощью

  метода оптимального выбора…………………….…..………...…....  13

Теория метода многокритериальной оптимизации по Парето….....  14

ГЛАВА II  Практическая часть

Решение задач на МКО по методу оптимального выбора

  и по методу Парето……………………….…………………………...…  20

Заключение……………………………………………………..…………….…...  29

Литература……………………………………………………..………………......  31

Говорят, самое сложное –

это сделать правильный выбор.

(Из газет)

Введение

На протяжении всей истории человечества люди при необходимости принимать решения прибегали к сложным ритуалам. Они устраивали торжественные церемонии, приносили в жертву животных, гадали по звёздам и следили за полётом птиц. Они полагались на народные приметы и старались следовать примитивным правилам, облегчающим им трудную задачу принятия решений.

Таким образом, необходимость принятия решений так же стара, как и само человечество. Несомненно, уже в доисторические времена первобытные люди, отправляясь, скажем, охотится на мамонта, должны были принимать те или иные решения: в каком месте устроить засаду? Как расставить охотников? Чем их вооружить?

Процессы принятия решений лежат в основе любой целенаправленной деятельности человека. Следовательно, от науки требуются рекомендации по оптимальному (разумному) принятию решений. Прошло то время, когда правильное, эффективное решение находилось "на ощупь", методом "проб и ошибок". Сегодня для выработки такого решения требуется научный подход – слишком велики потери, связанные с ошибками. Оптимальные решения позволяют достичь цели при минимальных затратах трудовых, материальных и сырьевых ресурсах. Таким образом, анализу и методам принятия оптимальных решений (эффективных решений) в настоящее время уделяется большое внимание.

Школа является частью современного общества, но понятия и категории, употребляемые в реальной жизнедеятельности людей, имеют размытые, нечеткие границы, что в настоящее время не учитывается в школьных задачах, ведь учась в школе, школьники привыкают к точным решениям, прямому перебору и пересчёту различных альтернатив, как правило, пренебрегая качественной оценкой ситуации. Поэтому выпускники школ часто теряются, сталкиваясь с реальной действительностью.

Таким образом, для эффективного решения любой задачи необходимо в первую очередь построить многокритериальную математическую модель, которую затем нужно оптимизировать, предварительно выбрав наиболее подходящий для этого метод.

Цель работы:

Рассмотреть основные положения математического моделирования, используемые при решении задач многокритериальной оптимизации с реальным содержанием, которые помогут  научиться качественно оценивать ситуацию, делать выбор среди нескольких альтернативных вариантов.

Задачи работы:

— дать определение понятию «многокритериальная оптимизация» с точки зрения математического моделирования;

— рассмотреть два метода решения задач многокритериальной оптимизации (метод оптимизационного выбора и метод Парето).

— решить практические задачи, используя данные методы.

—определить существующие проблемы решения задач многокритериальной оптимизации.

Глава I

Теоретическая часть

Методы поиска оптимальных решений рассматривают в разделах классической математики, связанных с изучением экстремумов функций, в математическом программировании.

Решением таких задач оптимизации является математический объект, для которого ясен критерий (показатель эффективности) по которому проводится оценка эффективности проектируемого объекта, т. е. требуется обратить в min (max) один единственный показатель.

К сожалению, такие задачи на практике встречаются редко. Когда идёт речь о проектировании таких объектов как самолёт, технологический процесс, то их эффективность, как правило, не может быть полностью оценена с помощью единственного показателя. Приходится рассматривать дополнительные критерии (показатели эффективности). Чем больше критериев качества вводится в рассмотрение, тем более полную характеристику достоинств и недостатков проектируемого объекта можно получить. Таким образом, задачи проектирования сложных систем всегда многокритериальны, так как при выборе наилучшего варианта приходится учитывать много различных требований, предъявленных к системе (объекту).

Прежде чем сформулировать задачу  оптимизации  введём и рассмотрим некоторые понятия.

1.1 Математическая модель объекта проектирования.

1.Определение основных понятий математического моделирования и характеристика этапов создания математической модели .

Под моделированием понимают процесс построения, изучения и применения моделей.

Модель – это материальный тип или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучение даёт новые знания об объекте оригинале.

Математическая модель - математическое описание физического объекта процесса или явления, выражающее состояние его внутренней динамики взаимодействия и свойства, это приближенное описание какого-либо класса явлений, выраженное с помощью математической символики.

В математических методах широко применяются как аналитические, так и статистические модели.

Аналитические модели более грубы, учитывать меньшее число факторов, всегда требует каких-то допущений и упрощений.

Статистические модели по сравнению с аналитическими более точны и подробны, не требуют столь грубых допущений, позволяют учесть большее количество факторов.

Операции – всякое мероприятие, система действий, объединенных единым замыслом и направлением к достижению какой-либо цели. Операция является управляемым мероприятием, то есть от нас зависти, каким способом выбрать некоторые параметры, характеризующие ее организацию.

Исследование операций – совокупность прикладных математических методов, используемых для решения практических организационных задач.

Решение - это всякий определенный набор зависящих от нас параметров.

Оптимальные решения - решения, по тем или иным признакам предпочтительнее перед другими.

Допустимые решения - это решения, удовлетворяющие системе ограничений и требованию неотрицательности.

Допустимый план - такой вариант плана, который удовлетворяет всем заданным ограничениям задачи, но не обязательно оптимальный.

Оптимальный план – допустимый план, который удовлетворяет условиям максимизации или минимизации (в зависимости от условия задачи).

Целевая функция - функция переменных, от которых зависит достижение оптимального состояния системы.

Математическое моделирование –  метод изучения внешнего мира, а также прогнозирования и управления.

Процесс математического моделирования можно подразделить на четыре этапа.

Первый этап – формулировка законов, связывающих основные объекты модели. Этот этап требует широкого знания фактов, относящихся к изучаемым явлениям, и глубокого проникновения в их взаимосвязи. Второй этап – исследование математических задач, к которым приводят построенные математические модели. Третий этап – выяснение того, удовлетворяет ли принятая гипотетическая модель критерию практики. Четвертый этап – последующий анализ модели в связи с накоплением данных об изучаемых явлениях и модернизации модели.

2. Основные этапы математического моделирования.

1) Построение модели. На этом этапе задается некоторый «нематематический» объект — явление природы, конструкция, экономический план, производственный процесс и т. д. При этом, как правило, четкое описание ситуации затруднено. Сначала выявляются основные особенности явления и связи между ними на качественном уровне. Затем найденные качественные зависимости формулируются на языке математики, то есть строится математическая модель. Это самая трудная стадия моделирования.

2) Решение математической задачи, к которой приводит модель. На этом этапе большое внимание уделяется разработке алгоритмов и численных методов решения задачи, при помощи которых результат может быть найден с необходимой точностью.

3) Интерпретация полученных следствий из математической модели. Следствия, выведенные из модели на языке математики, интерпретируются на языке, принятом в данной области.

4) Проверка адекватности модели. На этом этапе выясняется, согласуются ли результаты эксперимента с теоретическими следствиями из модели в пределах определенной точности.

5) Модификация модели. На этом этапе происходит либо усложнение модели, чтобы она была более адекватной действительности, либо ее упрощение ради достижения практически приемлемого решения.

3. Классификация моделей

Классифицировать модели можно по разным критериям. Например, по характеру решаемых проблем модели могут быть разделены на функциональные и структурные. В первом случае все величины, характеризующие явление или объект, выражаются количественно. При этом одни из них рассматриваются как независимые переменные, а другие — как функции от этих величин. Математическая модель обычно представляет собой систему уравнений разного типа (дифференциальных, алгебраических и т. д.), устанавливающих количественные зависимости между рассматриваемыми величинами. Во втором случае модель характеризует структуру сложного объекта, состоящего из отдельных частей, между которыми существуют определенные связи. Как правило, эти связи не поддаются количественному измерению. Для построения таких моделей удобно использовать теорию графов.