Методические указания к курсовой работе по дисциплине «CAD-CAE - системы» подготовки бакалавров каф.609 (стр. 8 )

П.6. Недостатки САЕ Sigma и подсистемы Preprocessor, предложения по совершенствованию комплекса Sigma и его подсистем.

Студент отмечает недостатки и достоинства препроцессора и системы Sigma и предлагает пути их совершенствования. Обязательными также являются указания на ошибки в методических указаниях к КР, предложениями иных формулировок и т. д.

  Отчет по П.6 должен содержать:

Достоинства и недостатки препроцессора  и предложения по их устранению.

Достоинства и недостатки системы Sigma  и предложения по их устранению.

Необходимы также предложения по модификации системы, в том числе концептуального характера.

Обязательными являются указания на ошибки в методических указаниях к КР, предложениями иных формулировок и т. д.

За правильное выполнение 1-ой обязательной части КР проставляется оценка "удовлетворительно" и студент вправе завершить её на этом этапе.

2. Вторая часть курсовой работы в 6-го семестра.

За выполнение одного из пунктов второй части КР окончательная оценка за КР 6-го семестра увеличивается на один балл, двух пунктов – два балла.

П.7. Качество  сетки КЭ и влияние значений входных параметров на результаты решения задачи МКЭ.

В П.7 студент:

определяет качество оптимизированной и неоптимизированной сеток проекта 2 КР6;

оценивает влияние оптимизации сетки на результаты решения задачи; отбирает наилучшую сетку КЭ.

Введение

Оценка качества сетки конечных элементов

Качество сетки конечных элементов кардинальным образом влияет на результаты решения задачи МКЭ, так как сетка КЭ является входными данными для программы. Поэтому крайне важно, не приступая к решению задачи, выбрать заранее наилучший вариант конечно-элементной сетки, ибо  наилучший вариант сетки КЭ должен давать результат приближенного решения, наиболее близкий точному. Итак, объективно невозможно оценить качество сетки конечных элементов без сравнения результатов приближенного решения задачи с точным решением. Но, как правило, отсутствие точного решения лишает исследователя использовать эту возможность и, тем самым, заранее оценить качество входных данных.

Поэтому приходится искать способы оценки качества сетки КЭ по косвенным признакам, при этом не только после её построения, но и, желательно, в процессе триангуляции.

Очевидным критерием является минимальная площадь КЭ.  Понятно, чем меньше площадь конечных элементов,  тем больше модель приближается к реальному объекту и тем более точно рассчитывается задача, если, конечно, накапливаемая при машинном округлении ошибка не становится критической. Оценка минимальной площади конечных элементов может оцениваться не по всему рассчитываемому объекту, а только по наиболее ответственной его части, например в области наибольших значений напряжений или в области, которая более всего интересует исследователя. 

Дальше идёт интегральная вариация этого критерия – средняя площадь КЭ, рассчитываемая как по всему объекту, так и по его части. 

Следующие критерии оценки качества сетки КЭ так или иначе анализируют форму конечных элементов.

Установлено, например, что ошибка метода КЭ при решении на треугольной сетке обратно пропорциональна величине синуса минимального угла в элементах сетки.

Отсюда в качестве естественного критерия ка

чества сетки можно принять синус минимального угла в КЭ сетки (или просто угол).

Другой критерий, основанный на подсчете среднего минимального угла в сетке, более интегрировано оценивает качество сеток и может применяться в аналитической форме без построения графиков. 

Оба эти простейших критерия слабо затрагивает форму большинства КЭ, изменение плотности КЭ в разных подобластях рассчитываемого объекта и поэтому могут использоваться только как вспомогательные.

Вообще, численных рекомендаций по форме КЭ немного.

С точки зрения конечно-элементного анализа можно смело говорить только о том, что оптимальным является разбиение на элементы имеющие форму простейших равносторонних фигур (равносторонний треугольник, квадрат, равносторонний тетраэдр, куб). Практически это требование достигается очень редко и получаемое разбиение на конечные элементы отлично от оптимального разбиения.

Для  формы КЭ, а с ним – интегральной оценки качества полученного сеточного разбиения строятся различные измерители (см. табл.).

Одним из таких измерителей является коэффициент формы, который вычисляется следующим образом. Для каждой стороны элемента Li определяется площадь идеального элемента такой величины (для равностороннего треугольника она равна 0,433(Li)^2, а для квадрата — (Li)^2), и затем эти площади осредняются.

Отношение этой осредненной «идеализированной» площади к реальной площади элемента принимается в качестве меры качества формы КЭ.

В литературе встречаются такие рекомендации:

углы КЭ должны быть не менее 30? и не более 150?; не рекомендуется использовать треугольные элементы, в которых присутствует угол меньше 15?. отношение же сторон КЭ не более 1:10.

Другие измерители по оценке  формы КЭ можно разработать на основе отношения площади КЭ к площади, вписанной в него окружности или на основе отношения радиуса вписанной в треугольник окружности к радиусу описанной.

Известно, например, что для любого треугольника  , где R - радиус описанной окружности, а  r - радиус вписанной окружности. Причем равенство имеет место для правильного треугольника.

Можно использовать некоторые известные соотношения в треугольнике. Например, отношение площади треугольника, вершинами которого являются точки касания вписанной окружности, к площади данного треугольника АВС меньше или равно .  При этом, равно – для равностороннего треугольника.

Если оцениваются сетки, построенные на заранее заданном множестве точек (узлов), то существует критерий, основанный на теореме Делоне, гласящей, что система КЭ будет оптимальной, если  она  имеет наименьший периметр сторон (ребер). Повторим - на одной и той же системе узлов.

Последнее условие ограничивает применение этого критерия для оценки качества сеток, для которых расположение и число узлов разное, но этот критерий позволяет формировать оптимальную сетку КЭ в процессе её построения по заранее заданным узлам и поэтому заслуживает пристального внимания.

Наиболее объективная интегральная оценка качества сеток осуществляется с использованием метода штрафных функций. В данном задании П.7 КР она не используется.

В П.7  для оценки качества сетки надо подобрать критерии, согласно простому большинству которых сетка будет обладать преимуществом или, наоборот, уступать сравниваемой сетке.

В качестве основных критериев в П.7 должны использоваться критерии  минимального угла и среднего минимального угла, благо информация по эти критериям получена при выполнении П.3 К этим двум критериям  необходимо привлечение ещё каких-либо критериев или критерия.

Содержание работы по П.7

Итак, в П.7 студент должен  провести сравнение  качества оптимизированной и неоптимизированной сеток проекта 2.

Оценка качества сетки проводится по критерию  минимального угла, значению среднего минимального угла и какому-либо дополнительному критерию или критериям, выбранным студентом самостоятельно.

Если два основных критерия (минимального угла и среднего минимального угла) однозначно указывают на преимущество одной из двух сравниваемых сеток между собой на всем диапазоне NRC=1-12, то привлечение дополнительного критерия или критериев не требуется.

При выполнении П.7 рекомендуется использовать подпрограммы fs. for (файл w1calc. for) и GETFINE (файл w2calc). При  необходимости студент модифицирует эти  подпрограммы в соответствии с решаемыми задачами.

Файлы  w1calc. for  и w2calc находятся на сайте в разделе

«Дополнительные модули и программы к САЕ Sigma».

Студент должен исключить из подпрограмм ненужные элементы, добавить свои – нужные,  и тем самым модифицировать эти  подпрограммы под запросы решаемых задач.

Не надо забывать, что используя FS в П.3 мы  оценивали работу алгоритма оптимизации (и только) : выполняет ли он свои функции или нет и от чего зависит эффективность его работы. Поэтому при выполнении П.7  в FS возможно придется вносить какие-либо изменения (например, удалить из FS исключение из рассмотрения неизменяемого минимального угла, если таковое вносилось при выполнении П.3).

В П.7  следует  оценивать сетки по трём  и более критериям, например, минимальному углу,  среднему минимальному углу и одному или больше дополнительным  критериям, выбранным студентом.

Дополнительные критерии могут быть разными.  Например, можно подсчитать процентное отношение числа КЭ, у которых углы лежат в интервале от 30 ? до 150 ?, к общему числу КЭ или процентное отношение числа КЭ, у которых отношение сторон больше 1:10, тоже к общему числу КЭ. Или подсчитать число КЭ, у которых минимальный угол меньше 30? и определить процентное отношение таких КЭ к общему числу КЭ.

       Можно привлечь формулы для  оценки формы  КЭ. Или, например, подсчитать число КЭ, площадь которых больше или меньше средней. И, конечно, объяснить, почему одно – хорошо, а другое – плохо (или наоборот) , т. е. логику сравнения, которую студент должен объяснить в отчете.

Отличие такого подхода от комплексного (реализуемого методом штрафных функций) состоит в том, что при равенстве n критериев мы применяем n+1-ый критерий, на основе которого сможем утверждать, что одна сетка всё-таки лучше другой.

Такая оценка более проста, дает большую свободу студентам в оценке качества сеток и более легко осуществляется (за счет изменения только подпрограммы FS) , чем метод штрафных функций, который потребовал бы подключения подпрограммы GETFINE из файла w2calc.  Впрочем, студенту не возбраняется использовать и этот модуль.