Методические указания к курсовой работе (типовому семестровому заданию) «Алгоритмизация и модификация САЕ-систем (на примере САЕ Sigma и Nastran)» (стр. 4 )

Далее, этот штраф должен быть больше  при большем отклонении площади КЭ от оптимума. Отсюда возникает необходимость составления формулы подсчета штрафа (функции штрафа) в зависимости от отклонения размера КЭ от оптимального размера.

За оптимальный размер КЭ можно взять среднюю площадь КЭ на всём рассчитываемом объекте, так как теоретически наиболее точные результаты МКЭ получаются на равномерной сетке.

Поэтому формулу вычисления штрафа за размеры КЭ можно представить в следующем виде:

               C1(ei)= Ci(di)=

причем C1(d1)≥ C1(d2), если d1≥ d2>0.

Здесь

где - площадь i - го КЭ, - средняя площадь КЭ рассчитываемого объекта.

Другой вариант записи отклонения от оптимума можно представить, например, так: . Но тогда формулу штрафа за размеры придется изменить:                C1(ei)= Ci(di)=

причем C1(d1)≥ C1(d2), если d1≥ d2>0.

Последняя форма предпочтительней, так как здесь имеем дело с относительными величинами.

Запись самой формулы штрафа за размеры Ci(di) зависит от оценки важности этого критерия исследователем. Он может принять линейную зависимость Ci(di)=k di  , квадратичная Ci(di)=k (di)2  или какую-либо другую.

Выбор формы записи отклонения от размера КЭ и самой функции штрафа оставляется на выбор исследователя и в КР 7-го семестра студент должен выбрать и то и другое самостоятельно.

Штраф за форму C2(ei).

Элементарные соображения приводят к желательности равностороннего треугольного КЭ. Следовательно, штрафовать  за форму надо треугольники, не отвечающие требованию равносторонности.

Вариантов функции штрафа за форму много. Можно анализировать углы КЭ и штрафовать те КЭ, минимальный угол которых отличается от 60 градусов, но здесь возникает вопрос о достаточности такого критерия. Можно анализировать сумму отношения длин сторон треугольника.

Функцию штрафа за форму КЭ можно разработать на основе отношения площади КЭ к площади вписанной в него окружности или на основе отношения радиуса вписанной в треугольник окружности к радиусу описанной.

Известно, например, что для любого треугольника отношение радиуса описанной окружности к радиусу вписанной окружности ≥ 2. Причем равенство имеет место для правильного треугольника.

Можно использовать некоторые известные соотношения в треугольнике. Например, отношение площади треугольника, вершинами которого являются точки касания вписанной окружности, к площади данного треугольника АВС меньше или равно . При этом, равно - для равностороннего треугольника.

Также как и в функции штрафа за размеры студент должен выбрать формулу  штрафа  за форму  и сформировать функцию штрафа самостоятельно.

Суммарный штраф f(ei)= C1(ei)+ C2(ei)

При формировании суммарного штрафа следует учесть, что в КР 7-го семестра размер и форма КЭ являются одинаково важными при формировании сетки КЭ. Поэтому  размеры штрафов  за размеры и форму для одной из сравниваемых сеток должны быть одинаковыми. Это достигается включением в формулу одного из штрафов множителя k, который подбирается для данной сетки отдельно  при каждом NRC.        

После этого подсчитывается суммарный штраф по всем КЭ для сравниваемых сеток. Но так как этим методом могут сравниваются сетки  с разным числом КЭ, то для корректности сравнения надо разделить суммарный штраф по всей сетке на число КЭ как для одной, так и для другой сетки.

При выполнении П.3. рекомендуется использовать подпрограммы fs. for (файл w1calc. for) и GETFINE. for (файл w2calc. for). Подпрограммы находятся на сайте в разделе «Дополнительные модули и программы к САЕ Sigma». Студент должен исключить из них ненужные элементы и модифицировать эти  подпрограммы в соответствии с решаемыми задачами.

4. является оценка качества оптимизированных сеток КР 6-го и 7-го семестров по двум критериям: по минимальному углу сетки КЭ и по размерам и форме КЭ методом штрафных функций.

П.4.1. Оценка качества сетки по значениям минимального угла конечно-элементной сетки.

Содержание работы по П.4.1.

Как уже говорилось, ошибка метода КЭ при решении задачи на треугольной сетке обратно пропорциональна величине синуса минимального угла в элементах этой сетки. Для простоты в в П.4.1. КР 7-го семестра оценка качества сетки проводится по значению минимального угла.

Нужная информация уже содержится в таблицах 3.1. и 3.2, полученных при выполнении П.3. курсовой работы. Учитывая, что после оптимизации минимальные углы всегда больше минимальных углов до оптимизации, в большинстве случаев сетки после оптимизации по критерию минимального угла будут иметь преимущество. Поэтому  студент должен будет сравнить две сетки КЭ: сетки 6-го  семестра 7-го  семестра после оптимизации.

Надо указать сетки КЭ и значения NRC им соответствующих, наиболее оптимальные по значениям минимального угла с учетом рекомендации, что минимальный угол должен быть больше 30 градусов.

Оформление отчета по П.4.1.

Для удобства сравнения качества сеток в П.4.1. привести в отчете таблицу, примерная форма которой представлена ниже.

Таблица 4.1.Сравнение минимального и среднего минимального угла в зависимости от NRC для сеток  6-го семестра и 7-го семестров после  оптимизации.

nrc		зона		зона	-	%	средний по всем КЭ	средний по всем КЭ		%
3
4
7
8
9
10
Среднее

Здесь и   значения минимальных углов для сеток 6-го и 7-го семестров.

Далее анализ и выводы.

При необходимости для доказательства выводов  возможно построение графиков.

П.4.2. Использование штрафных функций для оценки качества сетки 

Содержание работы по П.4.2.

Целью выполнения П.4.2 является оценка качества сеток 6-го и 7-го семестров с помощью метода штрафных функций (считая каждый из штрафов равноценным).

Оценка качества сетки с помощью штрафных функций

Оценку качества сетки можно проводить с помощью программы GETFINE. for, разработанной студенткой в 2007 году, модифицируя её для  целей исследования. Можно создать и собственную оригинальную программу.

GETFINE. for вызывается из GRIDDM. for. и позволяет оценить качество сетки с учетом функции плотности (функция плотности вычисляется в подпрограмме-функции GetDensityFunction. for  по исходной сетке).

Но в КР 7-го семестра штрафные функции надо формировать без использования функции плотности или, скорее, когда функция плотности постоянна на всей площади пластины и равна 1.

Выбор же вида штрафных функций остается на усмотрение исследователя, но приветствуются оригинальные. Студент должен модифицировать GETFINE. for.  и FUNCTION GetShapeFine с целью оценки формы конечных элементов на основе собственных разработок. 

Для окончательной оценки качества сетки следует сформировать две функции штрафа: штраф за размеры и штраф за форму.

Как уже говорилось, функция плотности в задании КР 7-го семестра не используется.

Поэтому строки кода GETFINE. for., а именно:

  DensityFunc(n)=GetDensityFunction((x1+x2+x3)/3.0,

  >(y1+y2+y3)/3.0,COORDUOPT, NOP, NE, Area)

связанные с определением функции плотности, следует закомментировать или удалить. Ниже этих закомментированных строк (или вместо них) надо вставить строку:

DensityFunc(n)=1

Так как выполнение GetDensityFunction в этом случае не будет использоваться, то её следует удалить.

Вычисление штрафной функции f(ei,) для каждого КЭ по следующей методике:

                         f(ei)= C1(ei)+ C2(ei)