Методические рекомендации для проведения курса «Комбинаторика» (стр. 5 )

Значит можно выдвинуть  гипотезу, что для любого n истинно равенство:

  (9)

Доказать равенство (9) можно с помощью метода математической индукции.

При  n=1 равенство (9) принимает вид  , а т. к. , то    истинно. Предположим, что равенство (9) верно при  n = m, т. е.

  (10)

Докажем, что равенство (9) истинно при  n = m + 1, т. е.

(11)

Для того, чтобы доказать истинность равенства при n=m+1, умножим обе части равенства (10) на (a+b). Получим:

.

Так как , и

, то мы получаем:

, а это равенство совпадает с равенством (11), которое необходимо получить из равенства (9) при n=m+1.

Итак, доказав, что формула (9) верна при n=1,а из справедливости формулы при n=m вывели, что формула истинна и при n=m+1. Значит, формула (9) верна при всех натуральных значениях n.

Формула (9) называется формулой бинома Ньютона, хотя известна была задолго до Ньютона  Каши, Паскалю и др. Заслуга Ньютона состоит в том, что он нашел обобщение формулы (9) на случай нецелых чисел.

С помощью бинома Ньютона можно доказать свойства для числа сочетаний.

§ 6. Правила для решения комбинаторных задач.

При решении конкретной комбинаторной задачи надо сначала выяснить, не решается ли она непосредственно применением правил суммы и произведения. Если такое решение окажется затруднительным, то следует составить математическую схему решаемой задачи, выяснив, идет ли в ней речь о составлении подмножеств, допустимы или нет повторения.

  Различают несколько уровней решения комбинаторных задач. Начальным уровнем является поиск хотя бы одного расположения объектов, обладающего заданными свойствами (например, отыскание такого расположения десяти точек на пяти отрезках, при котором на каждом отрезке лежит не четыре точки, или такого расположения восьми ферзей на шахматной доске,  при котором они не бьют друг друга).

  Иногда удаётся доказать, что данная комбинаторная задача не имеет решений (например, нельзя расположить 10 шаров в 9 урнах так, чтобы в каждой урне было не более одного шара – хотя бы в одной урне окажется не менее двух шаров). Если комбинаторная задача имеет несколько решений, то возникает вопрос о подсчете числа таких решений, об описании всех решений данной задачи. Часто бывает, что различные решения данной задачи отличаются друг от друга некоторыми параметрами. В этом случае возникает проблема отыскания оптимального варианта решения такой задачи. Например, путешественник хочет выехать из города A, посетить города B, C и D, после чего вернуться в город А.  На рисунке 1.2 изображена схема путей связывающих эти города. Различные варианты путешествия отличаются друг от друга порядком посещения городов B, C  и D. Рис.1.2

Существует шесть вариантов путешествия, рассмотрим таблицу 1.1, в которой указаны варианты путешествия и длина каждого пути:

Таблица 1.1

Путь	длина пути	путь	длина
A B C D A	1550	A C D B A	1300
A B D C A	1300	A D B C A	1450
A C B D A	1450	A D C B A	1550

Из таблицы 1.1 видно, что кратчайшими являются пути ACDBA и ABDCA, отличающиеся друг от друга лишь направлением движения.

ГЛАВА  II. Методика введения комбинаторных задач в V-VI классах.

В большинстве стран мира элементы комбинаторики изучаются в средней школе и считаются более  важным математическим предметом, чем многие привычные  для российских школьников разделы.

  В последние годы необычайно возросла роль комбинаторных методов не только в самой математике, но и в ее многочисленных приложениях: в физике, химии, биологии, лингвистике, технике, экономике. Расчет вероятностей приводит к комбинаторным задачам. Поэтому важно как можно раньше начать знакомить учащихся с комбинаторными методами и комбинаторным подходом.[17]

  В ряде исследований психологов и методистов показано, что элементы комбинаторики можно ввести в начальное обучение: это не требует никаких дополнительных знаний, кроме хороших навыков счета.

  Комбинаторика традиционно считается трудным предметом даже для старшеклассников. Поэтому младших школьников надо учить не готовым формулам, теоремам и определениям, а некоторым простейшим навыкам. Сначала дети должны научиться строить комбинации предметов, удовлетворяющих заданным условиям, находить среди этих комбинаций одинаковые и различные; затем они приобретают более сложные навыки – в упорядочении перебора, составлении таблиц, использовании дерева  возможностей. Лишь после этого появляются первые формулы для подсчета количества возможностей или комбинаций предметов.

Специально для младших школьников была разработана система комбинаторных задач и методика обучения этих задач[6],[7],[8].

В развитии детей младшего школьного возраста (V – VI классы) большую роль играют задачи, формирующие комбинаторный стиль мышления. Наиболее характерной чертой такого мышления является целенаправленный перебор определенным образом ограниченного круга возможностей при поиске решения задачи. Кроме того, в процессе обучения решению комбинаторных задач можно: 

1) Расширить знания учащихся о самой задаче, например, о количестве и характере результата (задача может иметь не только одно, но и несколько решений – ответов или не иметь решения), о процессе решения (чтобы решить задачу не обязательно выполнять какие-либо арифметические действия), познакомить их с основным способом решения (методом перебора);

2) подготовить к решению жизненных практических проблем, научить принимать оптимальное в данной ситуации решение;

3) организовать элементарную исследовательскую и творческую деятельность учащихся.

Целенаправленное обучение решению комбинаторных задач способствует развитию такого качества мышления, как вариативность. Вариативность мышления – это направленность мыслительной деятельности ученика на поиск различных решений задач в случае, когда нет специального указания на это.[8]

Комбинаторные задачи, направленные на тренировку умственных способностей (остроты ума, быстроты ориентировки, выбора рациональных вариантов), позволяют формировать следующие комбинационные умения: расставлять, располагать, размещать числа или предметы, разрезать, разделять на части фигуры или тела, разменивать купюры или монеты, составлять узоры или паркеты, соединять части в одно целое, перекладывать или перекраивать вещи, переливать жидкости, перемещать, передвигать что-либо, перебирать возможные варианты.

В своей книге «Математический тренинг» отмечает следующее: «Если спортсмену надо выполнять физические упражнения, танцору – много танцевать, музыканту – играть на музыкальных инструментах, то для развития умственных способностей нужны упражнения другого сорта.»

§ 1. Характеристика комбинаторных задач.

Специально для младших школьников была разработана система комбинаторных задач [8].Комбинаторные задачи отбирались адекватно методу перебора и с учетом возрастных психологических особенностей детей.  Комбинаторные задачи можно решать различными методами. В статье [8] методы условно разделили на «формальные» и  «неформальные». При «формальном» методе решения необходимо определять характер выбора, выбирать соответствующую формулу или комбинаторное правило, подставлять числа и вычислять результат, т. е. количество возможных вариантов, когда сами же варианты в этом случае не образовываются [11], [12].

При «неформальном» методе решения составляются различные варианты. И главное уже не сколько, а какие варианты могут получиться. «Неформальный метод» - это метод перебора. Метод перебора доступен младшим школьникам, позволяет накапливать опыт практического решения конкретных задач, а это служит основой для введения в дальнейшем комбинаторных принципов и формул. Кроме того, в жизни человеку приходится не только определять число возможных вариантов, но и непосредственно составлять все эти варианты, а владея приемами систематического перебора, это можно сделать более рационально.

Задачи,  решение которых можно осуществить методом перебора, по сложности осуществления перебора можно разделить на три группы:

Задачи, в которых  нужно произвести полный перебор всех возможных вариантов. Задачи, в которых использовать прием полного перебора не целесообразно и нужно сразу исключить некоторые варианты, не рассматривая их (сокращенный перебор).

3.  Задачи, в которых операции перебора производятся несколько раз и по  отношению к разного рода объектам.

Рассмотрим примеры таких задач:

Задача 1. Расставляя знаки «+» и « - « между данными числами 9…2…4, составь все возможные выражения.

Решение: Проводится полный перебор вариантов:

Два знака в выражении могут быть одинаковыми, тогда получаем 9+2+4, 9-2-4; Два знака могут быть разными, тогда получаем 9+2-4, 9-2+4. (Можно найти значения составленных выражений).

Задача 2. Учитель говорит, что он нарисовал в ряд четыре фигуры: большой и маленький квадраты, большой и маленький круги так, что на первом месте находится круг и одинаковые по форме фигуры не стоят рядом, и предлагает ученику отгадать, в какой последовательности расставлены эти фигуры.