Методические рекомендации для проведения курса «Комбинаторика» (стр. 9 )

Задача 7: Сколькими способами можно зачеркнуть 6 номеров из 36, играя в «Спортлото»?

Решение: ответ 36 * 35 * 34 * 33 * 32 * 31 = 1402410240 будет неверным, так как все равно, вычеркиваем мы сначала номер 15, а потом 3 или наоборот, т. е. вычеркивание номеров в порядке 25, 3, 15, 6, 17, 10 дает тот же результат, что и вычеркивание в порядке 6, 17, 3, 10, 15, 25. А так  как 6 номеров можно переставлять друг с другом  6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720 способами, то верный ответ будет таким: 1402410240: 720 =  1947792.

Очень важно отметить, что при решении двух последних задач учащиеся, по существу, перешли от размещений и перестановок к составлению сочетаний. Этот тип задач несколько сложнее ранее рассмотренных. Но при данном методе изложения учащиеся с ним справляются.

Аналогичные задачи, решаемые способом умножения, приведены в приложении 1 (задачи 32 – 40).

етодические рекомендации для организации факультативных

  занятий в IX – XI классах

Подлинное мастерство учителя состоит в том, чтобы обучение было для школьников желанным, необходимым, важнейшей духовной потребностью и развивало его склонности, способности и мышление.

Учитель должен выступать перед учащимися как носитель нового, позволяющего активизировать мыслительные процессы. Лишь глубокий подход учителя ко всему, что происходит в учебной деятельности, способен создать нужную атмосферу совместной деятельности. От содержания, формы урока зависит развитие «комбинаторного» стиля мышления и комбинационных способностей.

Что же дает самостоятельная деятельность в учебном процессе?

Самостоятельная работа является стимулятором всех типов мышления. Выполняя такую работу, ученик активно использует те формы мышления, которые он раньше приобрел, совершает поисковую, творческую деятельность. Необходимо последовательно усложнять содержание, формы способов обучения, требуемых для их выполнения. Любая самостоятельная работа должна преследовать ясные дидактические, развивающие и воспитательные цели. Все задания должны опираться на активные последовательные процессы деятельности учащихся. Огромную роль имеют комбинаторные задачи, которые могут найти своё место в содержании домашних работ, хотя бы в качестве необязательных упражнений.

Внеклассные и факультативные занятия способствуют развитию и укреплению  «комбинаторного» стиля мышления.

В статье  «Проблемы дальнейшего развития факультативных занятий по математике» указывает, что в последние годы были созданы разнообразные факультативные курсы.

Основные задачи факультативных занятий по математике:

Углубление и расширение знаний; Развитие интереса у учащихся к математике; Развитие математических способностей.

Содержание факультативного курса по математике позволяет расширить и углубить изучение программного материала, ознакомить учащихся с некоторыми современными математическими идеями, раскрыть приложения математики на практике.

К общим требованиям построения факультативных занятий относятся:

преемственность в содержании; методы и формы организации факультативных занятий должны определяться целями обучения математике; всестороннее развитие и воспитание учащихся; взаимосвязанное построение занятий не должно противоречить дидактическим принципам обучения; не должно быть противоречий с научно-обоснованными психолого-педагогическими требованиями, такими как изучение новых понятий на основе известных, включение этих понятий в круг имеющихся у учащихся знаний, опора при изучении математических абстракций на конкретные модели; не должно быть несогласованности и с директивными нормами организации работы общеобразовательной школы; главным критерием эффективности построения факультативных занятий по математике должна быть, в конечном счете, результативность связанных друг с другом процессов обучения, развития и воспитания школьников.

Факультативные занятия по математике являются весомой движущей силой в познании ученика. Благодаря им учащиеся приобретают умения и навыки, необходимые для успешного усвоения школьной программы по алгебре и геометрии; получают большой объем новой информации. У ребят усиливается интерес к математике, повышается уровень развития абстрактного, логического и теоретического мышления.

В V – VI классах учащиеся уже решали комбинаторные задачи на размещения, сочетания и перестановки «неформальным» методом, в старших классах необходимо ввести комбинаторные понятия и основные формулы комбинаторики.

С какими понятиями школьной математики связана тема «Элементы комбинаторики»?

Прежде всего, с понятиями из теории множеств. Для успешного понимания положений комбинаторики нужно свободно владеть простейшими операциями над множествами; к их числу относятся: объединение множеств, пересечение множеств, декартово произведение множеств. Поэтому, рассмотрение этих понятий на  предыдущих занятиях оказывается очень кстати.

У комбинаторики много общего с традиционной школьной математикой. Своеобразной особенностью комбинаторики является несколько «игровой» стиль ее преподавания. Он сказывается и в формулировке задач, и в изложении их решения.

В старших классах учащиеся знакомятся с «формальным» методом решения комбинаторных задач. Учащиеся должны, по существу, разобраться в ситуации, определить, с каким соединением (общий термин для размещений, перестановок и сочетаний) в данном случае имеешь дело. Иначе говоря, может быть труден или непривычен момент интерпретации задачи. Конструирование несложной модели ситуации на базе изученного математического материала, перевода ее условий с ситуационного языка на математический, на котором предстоит выполнить несложные формальные преобразования.

Изучение раздела «Элементы комбинаторики» в старших классах на факультативных занятиях или на уроках, в школах (классах) с углубленным изучением математики рассчитано на 8 часов. Из методических соображений он разделен на два блока.

Развивающая цель занятий: расширить и систематизировать знания, умения и навыки учащихся по теме: «Элементы комбинаторики».

Воспитательная цель: воспитывать внимание, сосредоточенность, точность, критичность у учащихся на занятиях и в быту, воспитывать культуру умственного труда.

Первый блок занятий рассчитан на 4 часа, он включает следующие занятия:

Занятие 1. Повторение – рассмотрение разнообразных комбинаторных  ситуаций.

Занятие 2. Исторические сведения развития комбинаторики, как науки. (доклад)

Занятие 3.  Основные принципы комбинаторики.

Занятие 4.  Основные формулы комбинаторики (без повторений). 

На этих занятиях учащиеся знакомятся с историей развития комбинаторики как науки, ее значением в жизни людей (можно воспользоваться  материалами исторической справки содержащейся в главе I - §1); повторяют теорию соединений (метод перебора, рассмотренный в V – VI классах) с помощью разнообразных ситуаций. Знакомятся с принципами сложения и умножения, формулами и учатся применять основные формулы и принципы при решении конкретных комбинаторных задач.

Второй блок занятий рассчитан на 4 часа и состоит из следующих занятий:

Занятие 5: Формулы комбинаторики (с повторениями).

Занятие 6: Треугольник Паскаля и бином Ньютона.

Занятие 7: Решение задач.

Занятие 8: Зачет.

На этих занятиях учащиеся изучают формулы с повторениями, учатся применять их для решения задач; знакомятся с понятием треугольник Паскаля и формулой бином Ньютона; решают задачи. Последний час отводится на повторение, закрепление и проверку знаний и умений.

Примерное содержание зачета.

1.Сформулировать и обосновать правило произведения.

2.Сформулировать и обосновать правило суммы.

3.Привести два примера комбинированного применения правила произведения и правила суммы. Дать истолкование этих примеров.

4.Дать определение кортежа. Объяснить, чем кортеж отличается от множества.

5.Дать определения и формулы для размещений с повторениями и размещений без повторений. Что у них общего и что различного?

6.Что общего у размещений без повторений и перестановок без повторений?

7.Чему равно число 0!? Доказывается или берется по определению это равенство?

8.Что общего у сочетаний с повторениями и сочетаниями без повторений? Разобрать на примерах использование этих понятий.

9.Имеется ли связь перестановок с повторениями с сочетаниями без повторений? Какая?

10.Перечислить и доказать известные вам свойства чисел.

11.Провести доказательство формулы бинома Ньютона.

12.Показать, как строится треугольник Паскаля. На использовании какого равенства он основан? Доказать это равенство.

13.В чем сходство и отличие бинома Ньютона от полиномиальной формулы?

14.Сколько членов в разложении бинома Ньютона и полиномиальной формулы?

15.Как найти наибольший член в формуле разложения по биному Ньютона?

16.Доказать, основываясь на комбинаторных соображениях, при любых натуральных n>k – целое число.

17. Сколькими разными способами можно расположить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы они не били друг друга?

  Первая проба преподавания темы “Элементы комбинаторики” по новой программе была осуществлена в 1973-1975 годах на факультативных занятиях, когда старшие классы школ работали по так называемой переходной программе, а с 1975/76 учебного года эта тема изучалась уже по обязательной для всех новой программе [16]

Тема «Элементы комбинаторики» по-разному изложена  в учебной и методической литературе. Анализируя литературу: [11],[12],[16],[3],[22],[31], можно выделить три подхода к введению данной темы в школьный курс математики:

«Вероятностный» подход, с помощью выборок и генеральной совокупности; С помощью множеств; С помощью введения соответствующих задач.

При изучении начальных понятий комбинаторики учащиеся должны видеть, что содержательной является математика не только с бесконечными объектами, но и дискретная математика.

Находя различные соединения, учащийся приближается к тем понятиям высшей алгебры и других разделов математики, к которым близка и которые обслуживает комбинаторика.

Особо следует отметить, что, осваивая комбинаторику, учащийся получает знания, необходимые при изучении теории вероятностей, при этом у него развиваются способности к вероятностному мышлению.