Методические рекомендации для проведения курса «Комбинаторика» (стр. 7 )

Разыгрывается следующая ситуация: Маша, Настя и Катя едут в электричке  на дачу.  Они сидят на одной скамеечке. (Трое девочек садятся у доски на стулья в любом порядке.) Детям нужно было проехать  8 остановок. Чтобы не было скучно ехать, они решили на каждой остановке меняться местами. Ставится вопрос «Смогут ли дети каждый раз меняться местами так, чтобы их новое расположение оказывалось все время отличным от предыдущих?» Ученики предлагают варианты расположения детей, они проигрываются у доски и записываются. Перебор пока осуществляется случайным образом, хаотично. После того, как найдены 6 вариантов, ученики стараются составить другой, новый вариант. Все их попытки  сделать это не приводят к успеху. Встает вопрос «Почему они не нашли 7-ой вариант: не могут это сделать или его не существует и уже найдены все возможные расположения?». Чтобы ответить на него, учащимся предлагается рассмотреть составленные 6 вариантов, найти и записать пары вариантов, очень похожие друг на друга: например,

  М. К. Н.  К. М. Н.  Н. М. К. 

  М. Н. К.  К. Н. М.  Н. К. М.

Полученная последовательность вариантов анализируется. Учащиеся замечают, что все девочки сидели у окна и, когда одна из них сидит у окна, то две другие могут разместиться двумя различными способами. Таким образом, дети убеждаются в том, что можно составить только 6 различных вариантов, других быть не может. Затем учитель просит учеников по записанным  вариантам еще раз рассказать, какой способ пересаживания был выбран во втором случае. И обращает внимание на то, что, используя его, можно быстро составить варианты не повторяя дважды одни и те же, и быть уверенными, что найдены  все возможные варианты. В  дальнейшем решение задач хаотическим перебором не запрещается. Но те ученики, которые проводят перебор в определенной последовательности (системе), поощряются. Предложенные ими способы разбираются и подчеркиваются преимущества осуществления такого перебора. Постепенно дети убеждаются в пользе  систематического перебора  и приучаются его использовать.

В одной и той же задаче можно выбрать разную систему перебора, и каждый ученик сам решает, как он будет действовать.

Можно предложить учащимся использовать прием, заключающийся во временном уменьшении числа элементов и составлении требуемых в задаче комбинаторных соединений  на основе найденных вариантов для меньшего числа элементов. Например, рассмотрим задачу: «Сколько разных фигур можно составить на листе бумаги из четырех одинаковых квадратов при условии, что квадраты соприкасаются точно по сторонам?». Чтобы ее решить, учитель предлагает детям сначала составить все возможные фигуры из  трех  квадратов (рис.2.9). Затем взять первую фигуру, составленную из трех квадратов, и по-разному присоединить к ней четвертый квадрат, следя за тем чтобы не получались одинаковые фигуры. Также предлагается действовать со второй фигурой, составленной из трех квадратов (рис.2.10).

  Рис. 2.9  Рис. 2.10

После того, как школьники убедятся в преимуществе систематического перебора, следует показать, что есть и такие задачи, в которых не стоит искать какую-либо систему перебора. Например: «нужно из деталей, изображенных на рисунке 2.10, выложить «лесенку» по заданному контуру (рис.2.11). Различные решения (рис.2.12, 2.13, 2.14) находятся в процессе хаотичного перебора, так в этой задаче можно быстрее и легче выполнить требуемое.

  Рис. 2.10  Рис. 2.11 

  Рис. 2.12  Рис. 2.13

Составление комбинаторных соединений происходит с опорой на запись. Следовательно, в задачах, в которых элементы  являются реальными предметами, встает проблема их обозначения. И если в начале обучения используются конкретные, наглядные заместители реальных предметов, то в дальнейшем учащиеся постепенно переходят к применению условных обозначений. Например, задача: «на каждом флажке должны быть три горизонтальные полоски: красного, синего и белого цвета. Сколько можно получить различных флажков, если менять порядок расположения цветов?». Решая ее, можно выбрать различные способы обозначения флажков (рис.2.14).

  к  1 

  б  2

  с  3

Рис. 2.14

Примеры комбинаторных задач, решаемых с использованием систематического перебора всех возможных вариантов, приведены в приложении №1 (задачи 9 – 19).

§ 4.Обучение решению комбинаторных задач с помощью таблиц и графов.

На третьем этапе школьники учатся находить все возможные варианты в более сложных комбинаторных задачах, для решения которых используются такие средства организации перебора, как таблицы и графы.

«Язык» графов и таблиц не совсем прост и понятен детям, вследствие чего требуется специальное ознакомление с ним.

Непосредственный перебор всех возможных вариантов и решений комбинаторных задач в некоторых случаях может быть затруднен. Облегчить процесс нахождения этих вариантов можно, научив детей работать с графическими средствами. Они позволяют расчленить ход рассуждений, четко провести перебор, не упустив каких-либо имеющихся возможностей. Решение задач с использованием таблиц и графов является основным содержанием третьего этапа, выделяемого в обучении школьников.[7]

Сначала как с наиболее простым средством организации перебора учащиеся знакомятся с таблицами. Рассматривая таблицу  (рис.2.15), ученики  «открывают» принцип ее составления. Затем им предлагается заполнить другую таблицу. Проговариваются разные способы заполнения: по строчкам, по столбцам.

  Рис.2.15

В целях освоения принципа составления таблиц используются примерно следующие задания:

Запиши в нужные клетки таблицы (рис.2.16) следующие числа: 57,75,44,74,55,77,47. Какие числа нужно записать в оставшиеся клетки? Проверь, правильно ли заполнена таблица (рис.2.17) .

  ед  ед

  дес.  4  5  7  дес.  1  3 

  4  9  91  39

  5  4  14  34

  7  7  71  73 

  Рис 2.16  Рис. 2.17

Когда дети научатся составлять таблицы, можно переходить к решению комбинаторных задач с их использованием.

Дети много времени тратят на вычерчивание самой таблицы: затрудняются определить нужные размеры, разметить все столбики и строчки, поэтому необходимо использовать специальные трафареты (рис. 2.18). 

  Рис. 2.18.

Например, опишем, как действуют учащиеся, решая с помощью таблицы задачу: «В одной деревне по сложившимся традициям мужчин  называют каким – либо  из следующих имен: Иван, Петр, Василий, Михаил. Проживают в одной деревне 15 мужчин. Может ли оказаться так, что в деревне нет мужчин с одинаковым именем, отчеством?»Ученик накладывает на тетрадный лист трафарет. Вписывает через «окошечки» на трафарете в верхнюю строчку и в первый столбик данные задачи. Через прорези намечает места записи составляемых объектов. Убирает трафарет.  Цветными линиями отчерчивает данные задачи (рис.2.19).

  И  П  В  М  И  П  В  М

  И  И  ИИ  ИП  ИВ  ИМ

  П  П  ПИ  ПП  ПВ  ПМ 

  В  В  ВИ  ВП  ВВ  ВМ 

  М  М  МИ  МП  МВ  ММ 

  Рис. 2.19  Рис. 2.20

Затем ученик заполняет таблицу (рис. 2.20), подсчитывает число всех возможных отличающихся имен – отчеств, сравнивает с числом мужчин в деревне и отвечает на вопрос задачи.

При заполнении таблицы нужно каждый раз определять, следует ли записывать составляемое соединение: не повторяет ли оно уже имеющиеся, удовлетворяет ли поставленным условиям. Клетки, которые при этом не заполняются, можно заштриховывать. Например, на рисунке 2.21 изображена таблица, составляемая при решении задачи: «Поезд, который идет из города  А  в город  У, делает по пути три остановки в городах  О,  И,  Э. Сколько различных по стоимости железнодорожных билетов потребуется, если пассажиры могут переезжать из любого города в любой другой?»

  А  О  И  Э  У

  А  А-О  А-И  А-Э  А-У

  О  О-И  О-Э  О-У

  И  И-Э  И-У

  Э  Э-У  Рис. 2.21

  У

Второе средство организации перебора при решении комбинаторных задач, с которыми знакомятся младшие школьники – графы. Графы – это фигуры, состоящие из точек и отрезков, которые их соединяют (рис. 2.22). Работа строится так, чтобы ученики в процессе решения задач сами приходили к изображению того или иного вида графа.

Рис. 2.22

Например, требуется решить задачу: «Однажды встретились пятеро друзей. Каждый, здороваясь, пожал другому руку. Сколько всего рукопожатий было сделано?» 

При решении задачи, сначала выясняется, как можно обозначить каждого человека. Быстрее и удобнее изображать людей точками. Учитель советует расположить точки по кругу, нарисовать их цветным карандашом, чтобы записи были понятными и наглядными. Затем ученики придумывают, как показать, что два человека  пожали друг другу руки. ОТ двух точек навстречу друг другу проводятся черточки – «руки», которые, встречаясь, образуют одну линию. Так дети приходят к символическому изображению рукопожатия. Сначала составляются все рукопожатия одного человека, (точка соединяется линиями со всеми остальными). Потом переходят к другому человеку. Проведенные линии помогают увидеть, с кем он уже поздоровался, а с кем нет. Составляются недостающие рукопожатия. И так действуют до тех пор, пока все не поздороваются друг с другом. По получившемуся графу (рис. 2.23) подсчитывается число рукопожатий  (их всего 10).

  .  1  2 

  .  .

  .  .  3  4

  Рис. 2.23  Рис. 2.24

Рассмотрим следующую задачу: «Сколько двухзначных чисел можно составить, используя цифры 1,2,3,4?»