Методические рекомендации для проведения курса «Комбинаторика» (стр. 1 )

Братский район

муниципальное общеобразовательное учреждение

«ИЛИРСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №2»

665748, Иркутская область, Братский район, п. Прибрежный, пер. Школьный, 4

тел./, Е-mail: *****@***ru

Методические рекомендации

для проведения курса «Комбинаторика»

Разработала:

I квалификационная категория

Содержание

Введение…………………………………………………………………………..3

  Глава  I. Общие понятия комбинаторики.

  § 1. Исторические сведения……………………………………………... 7

  § 2. Комбинаторные принципы сложения и умножения………………. 9

  § 3. Основные формулы комбинаторики.

  3.1 Размещения………………………………………………………… 15

  3.2 Перестановки………………………………………………………  17

  3.3 Сочетания…………………………………………………………  20

  § 4. Треугольник Паскаля………………………………………………... .23

  § 5. Бином Ньютона………………………………………………………..24

  § 6. Правила для решения комбинаторных задач………………………..25

  Глава  II. Методика введения комбинаторных задач в V – VI классах………28

  § 1. Характеристика комбинаторных задач…………………………….. 30

  § 2. Подготовительный этап – непосредственное составление

  соединений из небольшого количества предметов……………….. .37

  § 3. Обучение решению комбинаторных задач с использованием

  систематического перебора всех возможных вариантов…………..38

  § 4. Обучение решению комбинаторных задач с помощью таблиц

  и  графов……………………….………………………………………42

  § 5. Обучение решению комбинаторных задач с помощью способа

  умножения…………………………………………………………..52

  етодические рекомендации для организации факультативных

  занятий в IX – XI классах……………………………………………55

  Глава IV. Олимпиадные задачи из области комбинаторики………………….61

  Глава  V. Педагогический эксперимент………………………………………...69

Заключение ……………………………………………………………………....72

Приложение 1. Задачи по комбинаторике……………………………………..73

Приложение 2.  Ответы и указания ……………………………………………80

Приложение 3. Основные формулы комбинаторики………………………….82

Приложение 4. Тематика занятий по комбинаторике…...…………………… 83

Список литературы………………………………………………………………84

Введение

Природа щедро наделила человека, но два ее дара трудно переоценить, это способность мыслить и передавать свои мысли посредством речи.

Способность человека четко мыслить, полноценно логически рассуждать и ясно излагать свои мысли необходима каждому: ученому и руководителю, врачу и преподавателю и т. д.

Развитие мышления учащихся – одна из основных задач школьного обучения. Мышление школьника проявляется в умении анализировать, синтезировать, обобщать, конкретизировать и т. д., то есть, в умении применять различные приемы мыслительной деятельности при изучении материала, решении задач и доказательстве теорем.

Перед учителем стоит задача не только обучать учащихся отдельным мыслительным приемам, но и развивать умение делать выбор того или иного приема в зависимости от содержания изучаемого материала; выработать привычку самостоятельного применения этих приемов.

Указанную методическую задачу можно выполнить в процессе обучения на уроках и внеклассных занятиях по математике. Внеклассные и факультативные занятия, играя немаловажную роль в развитии мышления, способностей  и склонностей учащихся, позволяют углубленно изучать отдельные вопросы математики, устанавливать межпредметные связи.

Рассматривая тему «Комбинаторные задачи в школьном курсе математики» в своей  работе, мы преследовали цель рассмотреть возможность обучения решению комбинаторных задач учащихся V – VI классов («неформальному» методу – перебора) и учащихся IX – XI классов (формальному методу, т. е. применению формул для решения конкретных комбинаторных задач)

В разделе «Тематическое планирование учебного материала» программа по математике предполагает варианты планирования, ориентированные на использование действующих учебников и на учебные пособия для школ (классов) с углубленным изучением математики[25]. Планирование учебного материала  в V – VI классах, с использованием учебников под редакцией и , предусматривает изучение комбинаторной линии. В V классах 5 часов отводится на тему «Перебор возможных вариантов», основной целью, которой является: сформировать первоначальные навыки решения комбинаторных задач. В VI классе 6 часов отводится на изучение темы «Комбинаторика», целью которой является: развить умение решать комбинаторные задачи методом полного перебора вариантов, познакомить с приемом решения комбинаторных задач умножением.

Затем введение комбинаторной линии продолжается в IX классе для школ (классов) с углубленным изучением математики, но не является обязательным, а уже в XI классе рассматривается раздел « Элементы комбинаторики», на изучение которого по программе [25] рассчитано 10 – 12 часов. Изучение данного раздела начинается с изучения метода математической индукции, доказательства тождеств и факториала. Затем изучаются комбинаторные принципы сложения и умножения, основные формулы комбинаторики: размещения, перестановки и сочетания (без повторений и с повторениями), а тема «Бином Ньютона» является дополнительной темой и по рассмотрению учителя ее можно не изучать. После изучения раздела «Элементы комбинаторики» программа предусматривает возможность изучения раздела «Элементы теории вероятностей и математической статистики», как дополнительного и необязательного раздела.

Для выполнения работы была выбрана тема «Комбинаторные задачи в школьном курсе математики»

Дидактическое, воспитательное и практическое значение темы чрезвычайно велико. Элементы комбинаторики помогают установить многочисленные внутри - межпредметные связи.

Комбинаторика – это раздел дискретной математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям,  можно составить из заданных объектов.

  Комбинаторика или комбинаторный анализ тесно связаны с целым рядом других областей дискретной математики – как теоретических, так и прикладных. К теоретическим областям относятся такие, как теория конечных множеств, теория вероятности, теория графов, высшая алгебра, теория групп и теория чисел, а к практическим – сетевое планирование и управление, программирование, языки и алгоритмы ЭВМ, кодирование и декодирование, математические основы биологии, исследование операций

  Выбором объектов и расположением их в том или ином порядке приходится заниматься чуть ли не во всех областях человеческой деятельности. Например, конструктору, разрабатывающему новую модель механизма, ученому – агроному, планирующему распределение сельскохозяйственных культур на нескольких полях, химику, изучающему строение органических молекул, имеющих данный атомный состав, лингвисту – учесть различные варианты значений букв незнакомого языка и т. д. 

Проблема исследования заключалась в систематизации и обобщении существующих разработок по данной теме для формирования у учащихся знаний, умений и навыков по комбинаторике.

Объектом исследования был выбран процесс обучения школьников V – VI классов теме: «Комбинаторные задачи».

Цель исследования состояла в разработке методики обучения учащихся V – VI классов решению комбинаторных задач и методических рекомендаций для организации факультативного курса в IX – XI классах по теме «Элементы комбинаторики».

На основе этого была выдвинута гипотеза, что разработанная методика позволяет эффективно проводить обучение данной темы.

В первой главе дипломной работы содержатся сведения из истории развития комбинаторики как науки;  комбинаторные принципы и основные формулы комбинаторики, рассмотренные при помощи задач.

Вторая глава посвящена характеристике комбинаторных задач и методике обучения решению комбинаторных задач.

Третья глава касается вопросов, связанных с методическими рекомендациями для организации факультативных занятий в IX-XI классах по теме «Элементы комбинаторики».

В четвертой главе представлены решенные олимпиадные задачи по комбинаторике.

В пятой главе описаны результаты опытной проверки.

ГЛАВА I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ КОМБИНАТОРИКИ.

§ 1. Исторические сведения.

С задачами, получившими название комбинаторных, люди столкнулись в глубокой древности. Уже несколько тысячелетий назад в Древнем Китае увлеклись составлением магических квадратов, в которых заданные числа располагались так, что их сумма по всем горизонталям, вертикалям и главным диагоналям была одной и той же. В Древней Греции подсчитывали число различных комбинаций длинных и коротких слогов в стихотворных размерах, занимались теорией фигурных чисел, изучали фигуры, которые можно составить из частей особым образом разрезанного квадрата и т. д.

  Комбинаторные задачи возникли и в связи с такими играми, как шашки, шахматы, домино, карты, кости и т. д. (например, задача о расстановке восьми ферзей на шахматной доске, так чтобы ни один из них не оказался под боем при обходе всех полей шахматным конем). Потому, что в жизни привилегированных слов тогдашнего общества большое место занимали азартные игры.

  Комбинаторика становится наукой лишь в XVII веке – в период, когда возникла теория вероятностей. Чтобы решать теоретико-вероятностные задачи, нужно было уметь подсчитывать число различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям. Одним из первых занялся подсчётом числа различных комбинаций при игре в кости итальянский математик Н. Тарталья. Он составил таблицу показывавшую, сколькими способами могут выпасть r костей. Однако при этом не учитывалось, что одна и та же сумма очков может быть получена разными способами (например, 1+3+4=4+2+2).

  После первых работ, выполненных в XVIв. итальянскими учёными Дж. Кардано, Н. Тартальей и Галилеем, теоретическое исследование вопросов комбинаторики предприняли французские ученые Паскаль и Ферма. Исходным пунктом их исследований были проблемы азартных игр. Большую роль сыграла задача о разделе ставки, которую предложил Паскалю его друг: «Матч в орлянку ведётся до шести выигранных партий; он был прерван, когда один игрок выиграл 5 партий, а другой – 4; как разделить ставку?» Ясно, что раздел в отношении 5/4 несправедлив. Применив методы комбинаторики, Паскаль решил эту задачу в общем случае, когда одному игроку остается до выигрыша r партий, а второму s партий. Другое решение нашёл Ферма.