Методические рекомендации для проведения курса «Комбинаторика» (стр. 6 )

Решение: Всего существует 24 различных расположения этих фигур. И составлять их все, а потом выбирать соответствующие данному условию, нецелесообразно, поэтому проводится сокращенный перебор:

На первом месте может стоять большой круг, тогда маленький круг может быть только на третьем месте, при этом большой и маленький квадраты можно поставить двумя способами – на второе  и четвертое место (рис.2.1): 

Рис. 2.1

На первом месте может стоять маленький круг, тогда большой круг может быть только на третьем месте, при этом большой и маленький квадраты можно поставить двумя способами – на второе и четвертое место (рис.2.2):

Рис. 2.2

Составляя эти варианты, ученики находят тот, который был задуман учителем.

Задача 3. Три компаньона одной фирмы хранят ценные бумаги в сейфе, на котором три замка. Компаньоны хотят распределить между собой ключи от замков так, чтобы сейф мог открываться только в присутствии хотя бы двух компаньонов, но не одного. Как это можно сделать?

Решение: Сначала перебираются все возможные случаи  распределения ключей. Каждому компаньону можно дать по одному ключу или по два разных ключа или по три.

Предположим, что у каждого компаньона по одному ключу. Тогда, если придут любые двое из них, то они не смогут открыть сейф. Предположим, что у каждого компаньона по три разных ключа. Тогда сейф сможет открыть один из компаньонов, а это не соответствует условию. Предположим, что у каждого компаньона по два разных ключа. У первого– 1 и 2 ключи, второго – 1 и 3 ключи, третьего – 2 и 3 ключи. (Осуществляется выбор из трех типов ключей по два ключа). Проверим, когда придут любые два компаньона, смогут ли они открыть сейф. Рассматриваются все возможные случаи:

а) Могут прийти первый и второй компаньоны, у них будут все ключи (1 и 2, 1 и 3 ключи);

б) Могут прийти первый и третий компаньоны, у них будут все ключи (1 и 2, 2 и 3);

в) Могут прийти второй и третий компаньоны, у них будут все ключи (1 и 3, 2 и 3).

Таким образом, чтобы найти ответ в этой задаче, нужно выполнить операцию перебора несколько раз.

Совокупность комбинаторных задач, решаемых методом перебора, должна, удовлетворять принципу полноты. Поэтому необходимо, включать в изучение основные виды комбинаторных задач: на упорядочение элементов множества, на выбор подмножеств и их упорядочение. Можно составлять разнообразные задачи благодаря варьированию числа объектов, самих объектов, наличие дополнительных условий, повторяющихся элементов, способов упорядочения (слева  направо, сверху вниз, по кругу и т. д.)

Рассмотрим примеры некоторых задач:

Задача 4. (На упорядочение предметов (по кругу), среди которых есть одинаковые):  «Нарисуй, какие различные колечки можно сделать из пяти одинаковых маленьких бусинок и двух больших одинаковых бусинок».

Решение: Две большие бусинки могут располагаться одна за другой, могут разделяться одной маленькой бусинкой или четырьмя маленькими бусинками, могут разделяться двумя и тремя маленькими бусинками (рис.2.3).

Рис. 2.3

Задача 5. (На выбор подмножеств и их упорядочение (слева направо) при наличии дополнительных условий): «Запиши все двухзначные числа, которые можно составить из цифр 2, 4, 7 и 8, так, чтобы число десятков было больше числа единиц».

Решение: 1) Цифра 2 самая маленькая из данных цифр, следовательно, она не может являться числом десятков;

2) Цифра 4 больше 2, но меньше 7 и 8, поэтому можно составить одно число, удовлетворяющее заданному  условию – 42;

3) Цифра 7 больше 2 и 4, но меньше 8, значит, составляем два числа – 72 и 74;

4) Цифра 8 больше всех остальных данных чисел, поэтому составляем  3 числа – 82,. 84 и 87.

Следовательно, получаем  6 двухзначных чисел.

Ответ: 42, 72, 74, 82, 84 и 87.

Задача 6. (На выбор по одному, по два из трех элементов с повторениями): «Сделай карточки для игры в геометрическое домино, используя три фигуры: круг, квадрат, треугольник».

Решение:1) Составим карточки, на выбор по одному из трех данных фигур:

2)Составим карточки на выбор по два из трех  заданных элементов:

  а) с повторением:

  б) без повторения:

Комбинаторные задачи можно разбить на три вида, по характеру содержащегося в них требования:

Задачи, в которых требуется найти и сосчитать, сколько всего можно составить различных вариантов. Задачи, в которых требуется выяснить, существует ли определенная комбинаторная конфигурация, отвечающая поставленным условиям. Задачи, в которых нужно найти и выбрать наилучший вариант по определенным критериям.

Все рассмотренные выше задачи являются перечислительными. Поэтому рассмотрим примеры задач двух других видов:

Задача 7. Из прямоугольного листа бумаги длиной 7 см и шириной 4см нужно вырезать 7 одинаковых деталей, таких как на рисунке 2.4. Можно ли это сделать?

  Рис. 2.4

  Рис. 2.5

Ответ: Нельзя расположить 7 таких деталей в данном прямоугольнике (рис.2.5)

Задача 8. Из прямоугольного листа бумаги длиной 6см и шириной 3см нужно вырезать одинаковые детали, такие, как на рис.2.4. Нарисуй, как расположить эти детали, чтобы получить их из этого листа как можно больше.

Рис. 2.6

Ответ  изображен на рисунке 2.6

Можно использовать и обратные комбинаторные задачи.

Задача 9: В одном очень маленьком городе всего 10 различных маршрутов трамвая. Чтобы  жители города вечером могли издалека определить номер трамвая, было решено сделать различные огоньки для каждого маршрута. Но 10 стекол различных цветов не нашли. Стекла оказались только 4 цветов: красного, желтого, синего и зеленого. Как же можно выполнить задуманное?

Решение: задача решается методом перебора. Сначала необходимо обозначить каждый маршрут, используя по 2 разноцветных огонька:

кс, кж, кз, сж, сз, жз

ск, жк, зк, жс, зс, зж

Так как варианты первого и второго рядов, расположенных друг под другом, можно перепутать, поэтому нужно взять 6 этих  обозначений, а остальные 4 маршрута обозначить одним огоньком, например, так: 1 – кс, 2 – кж, 3 – кз, 4 – сж, 5 – сз, 6 – жз,. 7 – с, 8 – к, 9 – з, 10 – ж.

  Если учитывать психологические особенности младших школьников, то исходя из того, что у детей данного возраста еще сохраняется тесная связь в мышлении с практическими действиями, то при подборе задачи необходимо обеспечить постепенный переход от манипуляции с предметами к действиям в уме.

Рассмотрим примеры:

Задача 10: В воскресенье трое друзей (Маша, Саша, Дима) решили пойти в парк. Они пришли к аттракциону «Автодром». По правилам на одну машину садятся двое: водитель и пассажир. Чтобы никому не было обидно, ребята решили: каждый должен побывать водителем, и каждый должен покататься одинаковое количество раз. Какое решение они нашли?

Решение: В данной задаче есть возможность решить ее, разыграв сценку с детьми и выполняя, таким образом, реальные преобразования с реальными объектами. Составляются следующие пары: Маша – Саша, Саша – Дима, Дима - Маша (имя водителя подчеркнуто).

Задача 11: Переставляя только числа, составь все возможные выражения: 10+8 - 9.

Решение: 10 + 9 - 8, 8 + 10 - 9, 8 + 9 - 10, 9 + 8 - 10, 9 + 10 - 8.

Методика обучения решению комбинаторных задач строится с учетом психологических особенностей детей младшего школьного возраста и направлена на развитие мышления. Способы действий не даются  «в готовом виде»,а дети сами приходят к их «открытию», накапливая опыт. Рассмотрение разнообразных комбинаторных задач и различных возможностей  их  решения (разный ход рассуждений, средства организации перебора, способы обозначения объектов) обеспечивает ученику выбор путей и средств решения в соответствии с его индивидуальными особенностями. В обучении должна соблюдаться этапность. Основное  направление работы – это переход учащихся  от осуществления случайного перебора вариантов к проведению систематического перебора сначала без использования средств организации, а затем с их помощью.

§ 2. Подготовительный этап – непосредственное составление соединений из небольшого количества предметов.

Первый  этап - подготовительный.

На этом этапе учащиеся приобретают опыт образования объектов из отдельных элементов. Новые объекты ученики составляют, осуществляя хаотический перебор, и от них не требуется найти все возможные варианты в данной задаче. Например, можно рассмотреть следующие задачи:

Задача 1: Составь из трех одинаковых по размеру кубиков красного, желтого и синего цвета, несколько отличающихся друг от друга построек.

Задача 2: Скажи, из каких фигур составлен первый домик (рис.2.7). Дорисуй второй домик так, чтобы изменился порядок расположения фигур. Раскрась домики так, чтобы они отличались по цвету друг от друга.

Рис. 2.7

В процессе решения таких задач учащиеся приобретают опыт хаотического перебора возможных вариантов. И на основе этого опыта в дальнейшем можно будет обучать детей организации систематического перебора.

На подготовительном этапе идет также работа над совершенствованием мыслительных операций (анализа, синтеза, сравнения), которые входят в состав деятельности при решении комбинаторных задач. Особое внимание уделяется сравнению объектов, состоящих из отдельных элементов. Сравнение можно проводить по следующим основаниям: числу элементов,  составу, входящих в объект элементов, порядку расположения элементов в объекте. Например:

Рассмотри внимательно колечки из бусинок (рис.2.8) . Скажи, что изменяется  от одного колечка к другому.

Рис. 2.8

Примеры комбинаторных задач, решаемых непосредственным  составлением соединений, приведены в приложении №1 (задачи 1-8).

§ 3. Обучение решению комбинаторных задач с использованием систематического перебора.

  Второй этап – решение задач.

  На втором этапе, основная цель – обучение школьников решению комбинаторных задач с использованием систематического перебора всех возможных вариантов. Необходимо решать задачи с небольшим  числом возможных  вариантов.

Рассмотрим, каким образом можно подвести учеников  к идее организации перебора в определенной системе, как мотивировать переход  от хаотичного к систематическому перебору.