Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и линейная алгебра (стр. 3 )

4. Если система векторов содержит хотя бы один вектор, являющийся линейной комбинацией других векторов, то эта система векторов ______________________________

5. Определение два вектора называются коллинеарными, если__________________________________________________________________________ Три вектора называются компланарными, если__________________________________________________________________________

6. Сформулируйте необходимое и достаточное условие линейной независимости двух векторов.__________________________________________________________________________________________________________________________________________________

7. Сформулируйте необходимое и достаточное условие линейной независимости трех векторов___________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Перечень экзаменационных вопросов

Семестр 1

Группы. Кольца. Поля. Кольцо целых чисел. Свойства делимости. Теорема о делении с остатком. НОД. Алгоритм Евклида. Теорема и линейном представлении НОД. НОК. Взаимно простые числа. Теорема Евклида. Бесконечность количества простых чисел. Основная теорема арифметики. Формула для вычисления функции Эйлера. Целая часть числа. Свойства сравнений. Полная и приведенная системы представителей. Теорема Эйлера. Малая теорема Ферма. Кольцо классов вычетов. Поле классов вычетов по простому модулю. лгебраическая запись к. ч. Сопряженные числа. Модуль к. ч. Умножение к. ч.  в тригонометрическом виде. Формула Муавра. Корни из к. ч. Мультипликативная группа корней из 1. Первообразные корни. Циклическая группа корней n-й степени из 1. Формулы Кардано. Метод Феррари. Кольцо многочленов. Теорема о делении с остатком для многочленов. Деление уголком по убывающим степеням. Полиномиальная функция. Теорема Безу. Кратность корня Теоремы о линейном представлении НОД многочленов. Алгоритм Евклида для многочленов. Теорема Евклида. Неприводимые многочлены. Основная теорема арифметики кольца многочленов. Основная теорема алгебры к. ч. Следствия. Теорема Виета Многочлены над полем действительных чисел. Границы корней Многочлены над кольцом целых чисел. Признак Эйзенштейна. Лемма Гаусса. Рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами. Многочлены над полем рациональных чисел. Поле отношений. Поле рациональных дробей. Правильные и простейшие дроби. Теорема о представлении правильной дроби в виде суммы простейших. Кольцо многочленов от многих переменных. Высший член произведения. Симметрические многочлены. Теорема. Сочетания. Перестановки. Группа подстановок. Инверсии. Транспозиции. Свойства сложения матриц и умножения матрицы на число. Свойства определителей. Определитель Ван-дер-Монда. Теорема о минорах и алгебраических дополнениях. Теорема Лапласа. Следствия.  Определитель произведения. Группа невырожденных матриц. Алгоритм вычисления обратной матрицы. Элементарные преобразования матриц. Теорема о ранге матрицы. Теорема Гамильтона-Кэли. Сложение векторов. Умножение вектора на число. Коллинеарные и компланарные векторы. Координаты вектора. Ориентация тройки. Преобразование координат. Скалярное, векторное, смешанное, двойное векторное произведения. Произведения в координатной форме. Алгебра векторов. Уравнения прямых на плоскости: общее, через угловой коэффициент, через точку, через 2 точки, в отрезках. Расстояние от точки до прямой. Взаимное расположение прямых. Пучок прямых. Деление отрезка в данном отношении. Эллипс. Гипербола. Парабола. Эксцентриситет и директриса. Линии второго порядка в полярных координатах. Уравнения плоскости: общее, через точку, через 3 точки, в отрезках. Расстояние от точки до плоскости. Взаимное расположение плоскостей. Пучок плоскостей. Уравнения прямой в пространстве: общее, каноническое, через 2 точки. Взаимное расположения прямых, прямой и плоскости. Метод сечений в теории поверхностей второго порядка. Цилиндры. Эллипсоид. Гиперболоид однополостный и двуполостный. Параболоид эллиптический и гиперболический.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Дальневосточный федеральный университет»

(ДВФУ)

ШКОЛА ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК

ГЛОССАРИЙ

«Аналитическая геометрия и линейная алгебра»

точка - основное, неопределяемое понятие геометрии. При заданной системе координат однозначно определяется упорядоченной парой чисел (точка плоскости), упорядоченной тройкой чисел (трехмерное пространство) и далее - упорядоченным набором из n чисел (n-мерное  пространство) Целые числа - понятие, которое строится аксиоматически, опираясь на фундаментальное понятие натурального ряда. Целым числом называется класс эквивалентности множества всех упорядоченных пар натуральных чисел по отношению эквивалентности (a, b)==(c, d) <=>a+d=b+c. Целые числа образуют кольцо (см. далее). прямая - основное, неопределяемое понятие геометрии. Состоит из точек. В заданной системе координат на плоскости задается уравнением первой степени от двух переменных Ax+By+C=0 или двух линейных уравнений, выражающих координаты (x, y)  точек прямой через параметр t -  x=at+b, y=ct+d. Является пересечением двух плоскостей. Рациональные числа - понятие. которое строится аксиоматически, опираясь на понятие целых чисел. Рациональным числом называется класс эквивалентности множества всех упорядоченных пар целых чисел по отношению эквивалентности (a, b)==(c, d)<=>ad-bc=0. Рациональные числа образуют поле (см. далее). Вещественные числа - понятие, которое строится. опираясь на понятие рациональных чисел. Фундаментальной последовательностью рациональных чисел называется последовательность a1,a2,...an,..., обладающая следующим свойством: для всякого рационального числа t найдется  такое натуральное N, что  при любых натуральных p. q>N справедливо |ah-aq}<t. Две фундаментальные последовательности a1,a2,...an,... и b1,b2,...,bn,... называются эквивалентными, если последовательность a1-b1,a2-b2,...,an-bn,...обладает свойством: для всякого рационального t>0 найдется  натуральное N, что |an-bn|<t. Вещественным числом называется описанный выше класс эквивалентности фундаментальной последовательности. плоскость - основное понятие геометрии. Состоит из точек, содержит прямые. Уравнение плоскости в трехмерном пространстве имеет вид Ax+By+Cz+D=0 угол-  фигура на плоскости, состоящая из точки (вершина угла) и двух лучей, исходящих из этой точки.  Измеряется в градусах или радианах. скалярное произведение двух векторов в евклидовом пространстве по определению равно произведению длин векторов на косинус угла между ними. длина - основное понятие евклидова пространства. Определяется аксиоматически. При заданном скалярном произведении длина вектора равна квадратному корню из скалярного произведения вектора на себя;  длина отрезка AB  равна длине вектора, задаваемого этим отрезком. векторное произведение двух  векторов x, y в ориентируемом евклидовом пространстве равно вектору z, длина которого равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах, направление которого перпендикулярно плоскости векторов x, y и из двух оставшихся возможностей выбрано так, чтобы три вектора x, y,z были ориентированы так же, как и векторы базиса. поворот - движение в плоскости (поворот  вокруг точки O) и пространстве. (вокруг прямой). Если на плоскости выбрана  полярная система координат с полюсом в точке O, то поворот описывается переходом от точки с координатами (r, fi)  в точку с координатами (r, fi+psi). Поворот является движением. Всякий поворот может быть представлен как суперпозиция двух отражений. параллельный перенос на заданный вектор p - преобразование аффинного пространства, при котором каждая точка x переходит в точку x+p. В  простейшем случае параллельного переноса плоскости координаты исходной (x, y) точки и координаты преобразованной (x',y') точки связаны формулами x'=x+a, y'=y+b, где - координаты вектора  Отражение - преобразование евклидова пространства,  определенное следующим образом. Пусть X  исходная точка, а p - прямая или плоскость. относительно которой происходит отражение. Пусть X'- проекция точки X на p. По определению образом точки X при отражении считается точка X+2(XX'). однородность - свойство группы преобразований, действующей на некотором множестве,  заключающееся в том, что любые две точки могут быть переведены (первая во вторую) преобразованиями из данной группы.  изотропность - свойство группы преобразований, действующей на некотором множестве,  заключающееся в следующем.  Для всяких трех точек X, Y,Z с условием, что расстояния XY и XZ одинаковы, существует преобразование группы, переводящее X в X, а Y в Z.  линейное пространство - множество элементов, называемыми векторами, с двумя операциями - сложения векторов x, y и умножения вектора на число a с выполнением  тождеств a(x+y)=ax+ay ( и другими "естественными" тождествами сложения и умножения) аффинное пространство - множество A элементов, называемых точками, вместе с линейным пространством V, называемым пространством параллельных переносов; требуется существование отображений (A, A)-->V, (A, V)--> A с естественными свойствами. (Каждой паре точек из A соответствует вектор из V и от каждой точки из A можно отложить вектор из V.) линейное преобразование - отображение A линейного пространства в себя с выполнением условий A(x+y)=Ax+Ay, A(ax)=aAx для произвольных векторов x, y и произвольного числа a. кривая второго порядка - кривая на плоскости, координаты точек (x, y) которой  удовлетворяют уравнению Ax^2+2AB x y+C y^2+2Dx+2Ey +F=0. окружность - кривая на плоскости с уравнением (x-a)^2+(y-b)^2=r^2; здесь a, b - координаты центра окружности, r - радиус окружности.  эллипс - кривая на плоскости с каноническим уравнением x^2/a^2+y^2/b^2=1; здесь a, b -- большая и малая полуоси эллипса. парабола - кривая на плоскости с каноническим уравнением y^2=2px;здесь p - параметр параболы. гипербола - кривая на плоскости с каноническим уравнением x^2/a^2-y^2/b^2=1; здесь a, b -- большая и малая полуоси гиперболы. Пара прямых y=(b/a)x, y=-(b/a)x являются асимптотами гиперболы. поверхность второго порядка - поверхность в трехмерном пространстве, координаты точек (x, y,z) которой удовлетворяют уравнению Ax^2+2Bxy+2Cxz+Dy^2+2Eyz+Fz^2+2Gx+2Hy+2Iz+J=0 эллипсоид-  поверхность с каноническим уравнением x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1; здесь a, b,c - полуоси эллипсоида. гиперболоид однополостный - поверхность с каноническим уравнением x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=1; здесь a, b,c - полуоси однополостного гиперболоида. гиперболоид двуполостный - поверхность с каноническим уравнением x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=-1; здесь a, b,c - полуоси двуполостного гиперболоида. эллиптический параболоид - поверхность с каноническим уравнением x^2/a^2+y^2/b^2=2px; здесь a, b - полуоси  эллиптического параболоида. параболоид гиперболический - поверхность с каноническим уравнением x^2/a^2-y^2/b^2=2px; здесь a, b - полуоси  гиперболического параболоида. мнимый эллипс - уравнение второго порядка от двух переменных с каноническим видом x^2/a^2+y^2/b^2=-1 мнимый эллисоид - уравнение второго порядка от  трех переменных с каноническим видом x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=-1 матрица - прямоугольная таблица M чисел; число, стоящее на месте i, j обозначается через M_ij. собственный вектор x линейного преобразования A - ненулевой вектор, который вместе с некоторым числом l удовлетворяет условию Ax=lx. собственное значение. Если для некоторого линейного преобразования A, некоторого ненулевого вектора x и некоторого числа l  выполняется равенство Ax=lx, то число l называется собственным значением линейного преобразования A, соответствующим (собственному) вектору x. ортогональное преобразование - линейное преобразование A евклидова линейного пространства, сохраняющее скалярное произведение. Для всяких двух векторов x, y имеет место (x, y)=(Ax, Ay). билинейная форма - функция B(x, y) от двух векторных аргументов x, y, линейная по каждому из них т. е. B(x+y, z)=B(x, z)+B(y, z);B(ax, y)=aB(x, y);B(x, y+z)=B(x, z);B(x, ay)=aB(x, y) для любых трех векторов x, y,z и любого числа a. квадратичная форма - функция F (x) от векторного аргумента x, заданная формулой F(x)=B(x, x), где B - , билинейная форма. проективная плоскость-множество ненулевых векторов V трехмерного пространства "с точностью до коллинеарности", т. е. множество классов эквивалентности V  по отношению коллинеарности. проективные координаты - координаты вектора, рассмотренные "с точностью до постоянного множителя". проективное преобразование - преобразование проективного пространства, сохраняющее двойное отношение четырех точек. двойное отношение четырех точек  (A, B,C, D) на проективной прямой - число (или символ бесконечности). равное (AD)(BC)/(AC)(BD).Здесь A, B,C, D означают проективные координаты точек A, B,C, D  прямой, а (P, Q) означает определитель второго порядка, составленный из проективных координат точек P, Q. овал-фигура проективной плоскости с каноническим уравнением x^2+y^2-z^2=0. аффинная классификация кривых или поверхностей второго порядка - классификация по отношению аффинной эквивалентности. Две кривые (поверхности) второго порядка называются аффинно эквивалентными, если существуют две системы аффинных координат, в которых кривые (поверхности) имеют одинаковые уравнения. ортогональная (евклидова) классификация - кривых или поверхностей второго порядка - классификация по отношению ортогональной (евклидовой) эквивалентности. Две кривые (поверхности) второго порядка называются ортогонально (евклидово) эквивалентными, если существуют две системы ортогональных (евклидовых) координат, в которых кривые (поверхности) имеют одинаковые уравнения. проективная классификация кривых или поверхностей второго порядка - классификация по отношению проективной эквивалентности. Две кривые (поверхности) второго порядка называются проективно эквивалентными, если существуют две системы  проективных координат, в которых кривые (поверхности) имеют одинаковые уравнения. инверсия с центром в точке O  и радиусом R - преобразование расширенной плоскости комплексного переменного, определенное формулами x'=a+R^2/(y-b); y'=b+R^2/(x-a). Здесь a, b - координаты точки  O, x, y - координаты исходной точки, а x',y'- координаты преобразованной точки. При инверсии сохраняются углы между кривыми. Инверсия  является инволюцией. ортогональная матрица - квадратная матрица A, обратная к которой совпадает с транспонированной. Ортогональная матрица задает ортогональное преобразование в ортонормированном базисе. асимптота гиперболы - прямая линия, расстояние от текущей точки которой до ближайшей точки гиперболы стремится к нулю. Если гипербола задана каноническим уравнением, то уравнения  асимптот имеют вид y=(b/a)x, y=-(b/a)x. фокус. Кривые второго порядка - эллипс. гипербола, парабола имеют особые точки, называемые фокусами. По определению эллипс (гипербола) есть множество точек плоскости, сумма (разность) расстояний которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами есть величина постоянная. Параболой называется множество точек плоскости для каждой из которых расстояние до фиксированной точки, называемой  фокусом, и фиксированной прямой,  называемой директрисой, одинаковы. Инвариант - функция от координат точек пространства, на котором действует группа преобразований, не изменяющая своих значений под действием группы. эйлерова характеристика многогранника. Пусть многогранник имеет Г граней, Р ребер, В вершин. Тогда Эйлерова характеристика многогранника равна В-Р+Г. Эйлерова характеристика многогранника является топологическим инвариантом. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида; однополостный гиперболоид содержит два  семейства прямых линий, называемых прямолинейными образующими. Прямолинейные образующие гиперболического параболоида; гиперболический параболоид содержит однопараметрическое семейство прямых линий, называемых прямолинейными образующими. Многочлен - линейная комбинация одночленов. Рассматривают многочлены от одного или нескольких переменных. Многочлены представляют собой кольцо относительно естественных операций сложения и умножения многочленов. Производная монома x^n, n=0,1,2,...,;  равна nx^(n-1).  Производная многочлена определена с помощью производной монома "по линейности". Комплексное число - выражение вида a+bi, a, b-вещественные числа.. Множество всех комплексных чисел образует поле относительно естественных правил  сложения и умножения, при этом считается, что i^2=-1. Кватернион - выражение вида q=a+di+cj+dk, где  a, b,c, d-вещественные числа. Относительно естественных операций сложения и умножения и при выполнении тождеств i^2=j^2=k^2=-1,i*j=k, j*k=i, k*i=j, i*j+j*i=i*k+k*i, j*k+k*j=0  множество всех кватернионов образует тело. Наибольший общий делитель множества P целых чисел - целое число d, удовлетворяющее двум свойствам: 1) каждое число множества делится на d и 2) d является наибольшим среди тех, которые удовлетворяют свойству 1). Наименьшее общее кратное множества P целых чисел - целое число D, удовлетворяющее двум свойствам: 1) D делится на каждое из чисел множества P, 2) D является наименьшим среди тех, которые удовлетворяют свойству 1). Вычет целого числа x по модулю m - целое число y, обозначаемое через x(mod m),удовлетворяющее свойствам: 1) y-x делится на m, 2) m>y>-1. Группа - множество элементов G вместе с операцией умножения (*), удовлетворяющими следующим условиям 1) ассоциативность умножения a*(b*c)=(a*b)*c для любых трех элементов из G, 2) существование единицы, т. е. такого элемента e из G, что e*g= g для всякого g из G, 3) существование обратного элемента : для всякого g из G существует g'  такой, что g*g'=e. Подгруппа-  подмножество в группе, замкнутое относительно групповой операции. Нормальная подгруппа в группе G - подгруппа H такая, что g*h*g'  принадлежит H при любом h из H и g из G (g' означает элемент обратный к g). Факторгруппа группы G по ее нормальному делителю H (обозначается через G/H - множество смежных классов {gH} c групповым умножением: g1H*g2H=g1*g2H. Корректность умножения гарантирована свойствами подгруппы H как нормального делителя. Класс смежности  элемента g группы G подгруппе H (обозначается через gH)-  множество всех элементов группы G вида g*h (левый класс смежности) или h*g (правый класс смежности) Подстановка из n элементов {1,2,...,n} есть то же множество элементов, рассмотренное в другом порядке: {i1,i2,...,in}. Множество всех перестановок образует группу относительно суперпозиции перестановок. Определитель Ван дер Монда - определитель матрицы M, M_ij=x_j^(i-1),i=1,2,...,n; j=1,2,...,n; Определитель Ван дер Монда равен произведению всевозможных разностей x_i-x_j, i<j. Симметрический многочлен - многочлен от n переменных x1,x2,...,xn, не изменяющий своих значений при произвольной перестановке переменных. Важную роль в алгебре играют так называемые элементарные симметрические многочлены. Интерполяционный многочлен Лагранжа - так называется многочлен P(x), удовлетворяющий условиям P(xi)=yi для i=1,2,...,n; здесь xi, yi - заданные числа. P(x)=P0(x)+P1(x)+...Pn(x); Pj(x)=yi*Aj(x)/Bj; Aj(x)=(x-x1)(x-x2)...(x-x(j-1))(x-x(j+1))...(x-xn);Bj=Aj(xj). Бином Ньютона - формула (a+b)^n=a^n+na^(n-1)b+(n-1)n/2 a^(n-2)b^2+...+n(n-1)(n-2)...(n-k+1)/(12...k) a^(n-k) b^k+...b^n. Здесь в правой части равенства стоит сумма из n+1 слагаемого - мономов a^n, a^(n-1)b,...,a^2,b^(n-2),a^1b^(n-1), b^n с коэффициентами n(n-1)(n-2)...((n-k+1)/(12...k) при мономе a^(n-k) b^k. Эти коэффициенты называются коэффициентами бинома Ньютона Копредставление группы - задание группы образующими и соотношениями. Назовем элементы группы g1,g2,...,gn образующими и наборы слов F1,F2,...,Fm  составленных из образующих  F и их обратных - соотношениями. Постулируем  F1= e, F2=e,..., Fm=e, где e - единица группы, тогда множество всех слов с учетом групповых тождеств задает группу. Система линейных уравнений - система уравнений от n переменных x1,x2,...,xn вида a11x1+a12x2+...a1nxn=b1;a21x1+a22x2+...a2nxn=b2;...,av1x1+am2x2+...amnxmn=bm. Кольцо-  множество элементов R вместе с двумя операциями - сложения (+)  и умножения (*), удовлетворяющими следующим свойствам 1)(R,+) является абелевой группой, 2)a*(b+c)=a*b=a*c,(a+b)*c=a*c+b*c для любых трех элементов a, b,c  из R. Поле - множество элементов F вместе с двумя операциями - сложения (+)  и умножения (*), удовлетворяющими следующим свойствам 1) (F,+)  является абелевой группой, 2) (F\0,*) является абелевой группой. 3)  a(b+c)=a*b+a*c для любых трех элементов из F. Расширение поля F - всякое поле F1, содержащее поле F в качестве подполя. Дискриминант многочлена f(x) - результант многочлена и его производной. Результант двух многочленов f(x)=ax^n+... и  g(x)=bx^m+...степени n и m соответственно-  число, равное a^m*b^n, умноженное на произведение всевозможных разностей (ri-rj), где ri и rj - корни многочленов f(x) и g(x). Результант выражается полиноминально через коэффициенты многочленов f(x) и g(x). Идеал I кольца R-подкольцо в R такое, что i*x принадлежит I при любом i из I.