Алгебра и геометрия (стр. 3 )

Доказать, что при любых α, β и γ система векторов , ,   линейно независима, если  =( 1, α, β ),  =( 0, 1, γ ),  =( 0, 0, 1 ). Исследовать, является ли R подпространством векторного пространства C над полем F, если: 1)F = R; 2)F = C; 3)F = Q. Исследовать, является ли линейно зависимой система векторов :
1)        =(1, 2, 1),        2) =(1,–2,–1),
       =(1, 1,–1),                =(–1, 1,–1),
       =(–1,–3,–3).                =(–1,–3,–3). Исследовать, является ли линейно зависимой система векторов , векторного пространства многочленов от одной переменной степени ≤ 2 над полем R, если
=f1(x)=3+x+2x2,  =f2(x)=–2+x–x2. Доказать, что в вещественном пространстве квадратных матрицах второго порядка первый из трех векторов , , не выражается линейно через остальные. Исследовать, является ли линейно зависимой система векторов , векторного пространства C над R, если  =2+5i,  =4+10i. Верно ли, что в вещественном  пространстве  многочленов  степени  2  вектор f(x) = 1 + 4x – 7x2 линейно  выражается  через  векторы  f1(x) = 2 – x + x2,  и  f2(x) = 1 – 2x + 3x2. Подпространство V0 натянуто на систему векторов , где
=(1, 2, 1),  =(1, 1,–1),  =(1, 3, 3). Найти базис и размерность V0. Решить векторное уравнение :  , где

, , ,.

Матрицы и определители

Вычислить ранг матриц ,  . Умножить матрицы: ,  . Найти  , если 1) А=, 2) А=. Решить матричное уравнение: 1)⋅X = ,

2) .

Вычислить: ,  . Вычислить определитель матрицы, разложив по строке или столбцу из букв: 1) ,  2) . Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера:

а)                б)

Векторные пространства, линейные операторы

Найти базис и размерность векторного пространства V над полем R, состоящего из всех матриц вида  ,  где a, b, c, d∈R. В двумерном векторном пространстве с базисом , отображение  f1  переводит ∀(x, y) → (3x – 2y, 2x + y), отображение  f2  переводит ∀(x, y) →

(x + y, y). Исследовать, являются ли отображения  f1, f2  линейными операторами. Если - да, то вычислить матрицу каждого линейного оператора в базисе  ,.

Линейный оператор f векторного пространства V над полем R имеет матрицу А,

в некотором базисе ,,,.

Найти ядро Ker  f  и дефект f.

Линейный оператор f в базисе ,,, задан матрицей:

Найти для вектора, , его образ f().

В трехмерном арифметическом пространстве в базисе ,, линейный оператор f задан матрицей А. Вычислить матрицу С линейного оператора f в базисе ,,, если

В некотором базисе линейный оператор f задан матрицей А, . В том же базисе векторы ,, заданы своими координатами =(1, 2), =(0, 3), =(1, 0). Выделить среди этих векторов собственные и найти их собственные значения. Пусть линейный оператор f задан матрицей А в некотором базисе. Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора f, если

.