Математика (стр. 6 )

       б)  Находим , следовательно, функция имеет правостороннюю горизонтальную асимптоту, уравнение которой .

       Исследуем функцию на наличие наклонных асимптот.

       Уравнение наклонной асимптоты в общем виде .

       Находим , следовательно, функция не имеет наклонных асимптот.

Ответ: а) функция имеет вертикальные асимптоты  вид и ;

        б) функция имеет левостороннюю горизонтальную асимптоту ;

  в) функция имеет правостороннюю горизонтальную асимптоту ;

  г) наклонных асимптот нет.

       3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями ; и .

Решение

На рис. 1.1 в виде заштрихованного криволинейного треугольника ОАВ схематично изображена искомая фигура.

Введем следующие обозначения:

–  площадь заданной фигуры ОАВ;

–  площадь прямоугольника ОАВС;

–  площадь криволинейного треугольника ОВС.

       Тогда         .

       Для определения площадей прежде всего найдем абсциссу точки В (точки пересечения линий и ). Для этого приравняем правые части их уравнений:

.

       Решив последнее уравнение, получаем  .

       Площадь прямоугольника ОАВС (кв. ед.).

       Площадь криволинейного треугольника ОВС

  (кв. ед.).

       Следовательно,  (кв. ед.).

Ответ: (кв. ед.).

  III. Общетеоретическая часть

Общетеоретическая часть экзаменационной работы включает в себя один теоретический вопрос из предлагаемого ниже перечня.

       Общетеоретическая часть оценивается от 0 до 3 баллов в зависимости от правильности и полноты изложения.

Перечень теоретических вопросов

Числовая последовательность и ее предел. Предел функции. Основные приемы раскрытия неопределенности типа ∞ / ∞, 0/0, … при  вычислении пределов. Непрерывность функции. Производная функции одной переменной. Физический и геометрический смысл производной функции. Основные правила и  формулы дифференцирования. Понятие дифференциала. Производные и дифференциалы функций высших порядков. Исследование функции на монотонность. Экстремумы функции. Исследование кривизны функции. Точки перегиба. Асимптоты функции. Частные производные первого порядка функции нескольких переменных и ее полный дифференциал. Понятие и свойства неопределенного интеграла. Таблица неопределенных интегралов. Основные методы интегрирования. Понятие определенного интеграла, его основные свойства. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определенного интеграла методом замены переменной (подстановки) и интегрирования по частям. Геометрический смысл определенного интеграла. Основные приложения определенного интеграла. Несобственный интеграл. Общие сведения о дифференциальных уравнениях. Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными. Числовые ряды. Основные понятия и определения. Необходимый и достаточные признаки сходимости числовых рядов с положительными членами. Степенные ряды. Основные понятия и определения. Исследование сходимости степенных рядов. Ряды Маклорена и Тейлора. Применение степенных рядов в приближенных вычислениях.

4. Методические рекомендации

по изучению учебной дисциплины для студентов

При изучении темы “Теория множеств” необходимо обратить внимание на многообразие применения понятия множества в различных областях, в том числе в экономике, действия с множествами.

При изучении темы “Числовые последовательности” особое внимание следует обратить на понятие предела числовой последовательности его вычисление.

       При изучении темы “Предел и непрерывность функции одной переменной” особое внимание следует обратить на следующие моменты:

– условия существования предела функции;

–  особенности вычисления пределов функций в условиях возникновения различного вида неопределенностей;

–  связь понятия предела функции с ее непрерывностью;

– понятие и типы точек разрыва функции и алгоритм их нахождения.

       При изучении темы “Производная и дифференциал функции одной переменной” особое внимание следует обратить на основные правила дифференцирования, нахождение производной сложной функции, а также возможности применения методов дифференциального исчисления в экономике.

       При изучении темы “Исследование функции одной переменной” особое внимание следует обратить на общий порядок исследования функции, применение пределов и производных для исследования функции и построения ее графика.

       При изучении темы “Функции нескольких переменных” особое внимание следует обратить на понятие частной производной функции нескольких переменных и особенности ее нахождения, а также применении частных производных для нахождения экстремумов таких функций.

       При изучении темы “Неопределенный интеграл” особое внимание следует обратить на основные свойства и таблицу неопределенных интегралов, методы интегрирования.

       При изучении темы “Определенный интеграл” особое внимание следует обратить на существенные отличия определенного интеграла от  неопределенного,  особенностям применения методов замены переменной и интегрирования по частям при вычислении определенных интегралов, особенностям вычисления несобственных интегралов, а также на возможности практического применения определенных интегралов.

       При изучении темы “Дифференциальные уравнения” особое внимание следует уделить классификации дифференциальных уравнений, понятиям общего и частного решения дифференциальных уравнений, а также методам решения линейных дифференциальных уравнений.

       При изучении темы “Числовые ряды” особое внимание следует обратить на понятие сходимости числовых рядов, основные признаки их сходимости.

       При изучении темы “Степенные ряды” особое внимание следует обратить на особенности исследования на сходимость степенных рядов в отличие от числовых рядов, определение области (радиуса) сходимости, разложение функции в ряд Маклорена и применение степенных рядов для приближенного вычисления значений функций.